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Subjects
Class 9 Mathematics Sequences and Progressions Sum of first n natural numbers Expert Level 61

किस प्रकार के धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(n\) से पूर्णतः विभाज्य होता है?

For which type of positive integer \(n\) is the sum of the first \(n\) natural numbers exactly divisible by \(n\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(n\) विषम हो\(n\) is odd

Explanation

Simple Explanation

प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(n\) से भाग देने पर \(\frac{n+1}{2}\) मिलता है, जो केवल \(n\) के विषम होने पर पूर्णांक है। अभाज्य होना पर्याप्त नहीं, क्योंकि 2 सम है। परीक्षा टिप: विभाज्यता में पहले सामान्य गुणनखंड काटें। / The sum is \(\frac{n(n+1)}{2}\). On dividing by \(n\), we get \(\frac{n+1}{2}\), which is an integer only when \(n\) is odd. Being prime is not sufficient because 2 is even. Exam tip: cancel common factors first in divisibility questions.

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किस प्रकार के धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(n\) से पूर्णतः विभाज्य होता है? / For which type of positive integer \(n\) is the sum of the first \(n\) natural numbers exactly divisible by \(n\)?

Correct Answer: A. \(n\) विषम हो / \(n\) is odd. Explanation: प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। इसे \(n\) से भाग देने पर \(\frac{n+1}{2}\) मिलता है, जो केवल \(n\) के विषम होने पर पूर्णांक है। अभाज्य होना पर्याप्त नहीं, क्योंकि 2 सम है। परीक्षा टिप: विभाज्यता में पहले सामान्य गुणनखंड काटें। / The sum is \(\frac{n(n+1)}{2}\). On dividing by \(n\), we get \(\frac{n+1}{2}\), which is an integer only when \(n\) is odd. Being prime is not sufficient because 2 is even. Exam tip: cancel common factors first in divisibility questions.