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Subjects
Class 9 Mathematics Sequences and Progressions Sum of first n natural numbers Hard Level 60

किन धनात्मक पूर्णांकों \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n\), \(n\) से पूर्णतः विभाज्य होता है?

For which positive integers \(n\) is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers exactly divisible by \(n\)?

Published by Muft Shiksha Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. केवल विषम \(n\)Only odd \(n\)

Explanation

Simple Explanation

\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), इसलिए \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\)। यह पूर्णांक तभी होगा जब \(n+1\) सम हो, अर्थात \(n\) विषम हो। अभाज्य होना आवश्यक नहीं है; जैसे \(9\) भी उपयुक्त है। परीक्षा टिप: विभाज्यता के लिए योग को \(n\) से भाग देकर जाँचें। / Since \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\). This is an integer only when \(n+1\) is even, so \(n\) must be odd. Being prime is not required; \(9\) also works. Exam tip: divide the sum formula by the given divisor first.

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किन धनात्मक पूर्णांकों \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n\), \(n\) से पूर्णतः विभाज्य होता है? / For which positive integers \(n\) is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers exactly divisible by \(n\)?

Correct Answer: A. केवल विषम \(n\) / Only odd \(n\). Explanation: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), इसलिए \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\)। यह पूर्णांक तभी होगा जब \(n+1\) सम हो, अर्थात \(n\) विषम हो। अभाज्य होना आवश्यक नहीं है; जैसे \(9\) भी उपयुक्त है। परीक्षा टिप: विभाज्यता के लिए योग को \(n\) से भाग देकर जाँचें। / Since \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\). This is an integer only when \(n+1\) is even, so \(n\) must be odd. Being prime is not required; \(9\) also works. Exam tip: divide the sum formula by the given divisor first.