Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन विकर्ण युग्मों में से ठीक दो चुनने हैं, जिसके \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly two of the three diagonal pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The remaining (6) off-diagonal pairs are independently optional.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot 2^6\) होगी। / Therefore the count is \(3\cdot 2^6\).
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (2) चुनने के \(\binom{4}{2}=6\) तरीके हैं। / Choose exactly (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}=6\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (6) off-diagonal reverse-pair groups are independently optional.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(6\cdot 2^6\) होंगे। / Hence the total number is \(6\cdot 2^6\).
प्रतिवर्ती संबंधों में तीनों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और (6) गैर-विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल \(2^6\)। / Reflexive relations force the three diagonal pairs and leave (6) off-diagonal pairs free, giving \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (3) विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3\)। / Reflexive symmetric relations have (3) independent off-diagonal reverse-pair groups, giving \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
सममित नहीं वाले संबंध \(2^6-2^3\) होंगे। / Therefore the reflexive but not symmetric relations are \(2^6-2^3\).
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जा सकते हैं। / Being both symmetric and antisymmetric allows only diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^3\) संबंध बनते हैं। / With (3) diagonal pairs, there are \(2^3\) such relations.
Step 3
Exam Tip
इनमें एक संबंध पूरा पहचान संबंध है, जो प्रतिवर्ती है; उसे हटाने पर \(2^3-1\) बचते हैं। / One of them is the full identity relation, which is reflexive; removing it gives \(2^3-1\).
(A) में शेष (0) वाली संख्या (3), शेष (1) वाली (1,4), और शेष (2) वाली (2,5) हैं। / In (A), remainder (0) has (3), remainder (1) has (1,4), and remainder (2) has (2,5).
Step 2
Why this answer is correct
योग (3) से विभाज्य होने के लिए शेष ((0,0),(1,2),(2,1)) चाहिए। / A sum divisible by (3) needs remainder pairs ((0,0),(1,2),(2,1)).
Step 3
Exam Tip
गिनती \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\) नहीं, बल्कि (1+4+4=9) होती है। / The count is \(1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2=9\), so the correct count is (9).
A. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए संबंध सममित है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(2,2)=2), इसलिए सभी विकर्ण युग्म नहीं मिलते और प्रतिवर्तिता नहीं है। / (\gcd(2,2)=2), so not all diagonal pairs are present and it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(2R3) और (3R4) सही हैं, पर (2R4) गलत है, इसलिए संक्रामी भी नहीं। / (2R3) and (3R4) hold, but (2R4) fails, so it is not transitive.
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\).
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। / Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। / Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे। / Therefore the required number is \(2^6-1\).
