निम्नलिखित में से कौन-सा फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एकैकी (one-one) है?

Correct Answer: C. \(f(x)=x^3\). Explanation: फलन \(f(x)=x^3\) वास्तविक संख्याओं पर सतत रूप से वर्धमान है। इसलिए यदि \(x_1\ne x_2\), तो \(x_1^3\ne x_2^3\); अतः अलग-अलग इनपुट के लिए अलग-अलग आउटपुट मिलते हैं और यह एकैकी है। \(x^2\) एकैकी नहीं है, क्योंकि \(f(2)=f(-2)\)। इसी प्रकार \(|x|\) में भी धनात्मक और ऋणात्मक समान परिमाण वाले इनपुट का आउटपुट समान होता है। परीक्षा टिप: एकैकी जाँचने के लिए ऐसे दो अलग इनपुट खोजें जिनका आउटपुट समान हो। / The function \(f(x)=x^3\) is strictly increasing on the real numbers. Hence, if \(x_1\ne x_2\), then \(x_1^3\ne x_2^3\); distinct inputs give distinct outputs, so it is one-one. The function \(x^2\) is not one-one because \(f(2)=f(-2)\). Similarly, \(|x|\) gives the same output for positive and negative inputs of equal magnitude. Exam tip: To disprove one-one-ness, find two different inputs with the same output.