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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions One-one function Easy Level 24

फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने की सही शर्त कौन-सी है?

Which condition correctly defines a one-one function \(f:A\to B\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)

Explanation

Simple Explanation

एक-एक फलन में अलग-अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। इसलिए यदि \(f(x_1)=f(x_2)\) हो, तो आवश्यक रूप से \(x_1=x_2\) होना चाहिए; अतः विकल्प A सही है। विकल्प C आच्छादक (onto) फलन की शर्त है, क्योंकि उसमें समुच्चय \(B\) के प्रत्येक तत्व का कम-से-कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: एक-एक के लिए समान आउटपुट मिलने पर इनपुटों की समानता जाँचें। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images. Therefore, if \(f(x_1)=f(x_2)\), then necessarily \(x_1=x_2\); hence option A is correct. Option C is the condition for an onto function, where every element of \(B\) must have at least one preimage in \(A\). Exam tip: for one-one functions, check whether equal outputs force the inputs to be equal.

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  3. यदि \(A=\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  4. यदि \(A=[a_{ij}]*{3\times3}\) और (a*{ij}=1) जब (i=j), तथा \(a_{ij}=0\) जब \(i\ne j\), तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  5. यदि \(A=[a_{ij}]*{2\times2}\) और (a*{ij}=0) सभी (i,j) के लिए है, तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  6. कौन-सा विकल्प \(2\times2\) इकाई मैट्रिक्स है?
  7. 2×2 शून्य मैट्रिक्स कौन‑सा है?
  8. मानें \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)। \(A^T\) का क्रम क्या होगा?
  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?

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फलन \(f:A\to B\) के एक-एक होने की सही शर्त कौन-सी है? / Which condition correctly defines a one-one function \(f:A\to B\)?

Correct Answer: A. \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\). Explanation: एक-एक फलन में अलग-अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। इसलिए यदि \(f(x_1)=f(x_2)\) हो, तो आवश्यक रूप से \(x_1=x_2\) होना चाहिए; अतः विकल्प A सही है। विकल्प C आच्छादक (onto) फलन की शर्त है, क्योंकि उसमें समुच्चय \(B\) के प्रत्येक तत्व का कम-से-कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: एक-एक के लिए समान आउटपुट मिलने पर इनपुटों की समानता जाँचें। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images. Therefore, if \(f(x_1)=f(x_2)\), then necessarily \(x_1=x_2\); hence option A is correct. Option C is the condition for an onto function, where every element of \(B\) must have at least one preimage in \(A\). Exam tip: for one-one functions, check whether equal outputs force the inputs to be equal.