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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions One-one function Expert Level 22

मान लीजिए कि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) फलन हैं। यदि संयुक्त फलन \(g\circ f:A\to C\) एक-एक है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से सत्य है?

Let \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) be functions. If the composite function \(g\circ f:A\to C\) is one-one, which of the following conclusions must be true?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(f\) एक-एक है\(f\) is one-one.

Explanation

Simple Explanation

यदि \(f(x_1)=f(x_2)\), तो दोनों ओर \(g\) लगाने पर \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\) प्राप्त होता है। चूँकि \(g\circ f\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\) होगा। अतः \(f\) अवश्य एक-एक है। लेकिन \(g\) का एक-एक होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(g\) उन तत्वों पर समान मान दे सकता है जो \(f\) के प्रतिचित्र में नहीं आते। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन के एक-एक होने से पहला फलन एक-एक होता है। / If \(f(x_1)=f(x_2)\), then applying \(g\) gives \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Since \(g\circ f\) is one-one, we must have \(x_1=x_2\). Hence, \(f\) must be one-one. However, \(g\) need not be one-one because it may take equal values at elements outside the image of \(f\). Exam tip: injectivity of a composite function implies injectivity of the first function.

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Correct Answer: A. \(f\) एक-एक है / \(f\) is one-one.. Explanation: यदि \(f(x_1)=f(x_2)\), तो दोनों ओर \(g\) लगाने पर \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\) प्राप्त होता है। चूँकि \(g\circ f\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\) होगा। अतः \(f\) अवश्य एक-एक है। लेकिन \(g\) का एक-एक होना आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(g\) उन तत्वों पर समान मान दे सकता है जो \(f\) के प्रतिचित्र में नहीं आते। परीक्षा टिप: संयुक्त फलन के एक-एक होने से पहला फलन एक-एक होता है। / If \(f(x_1)=f(x_2)\), then applying \(g\) gives \((g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\). Since \(g\circ f\) is one-one, we must have \(x_1=x_2\). Hence, \(f\) must be one-one. However, \(g\) need not be one-one because it may take equal values at elements outside the image of \(f\). Exam tip: injectivity of a composite function implies injectivity of the first function.