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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Medium Level 9

यदि \(A=\{x: x\in \mathbb{N},\; x\le 4\}\) है तो उन उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है जिनमें \(4\) शामिल हो?

If \(A=\{x: x\in \mathbb{N},\; x\le 4\}\), how many subsets of A contain \(4\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 8

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) है। यदि हम \(4\) को शामिल करना निश्चित कर दें तो शेष तीन तत्व (1,2,3) प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या \(2^3=8\) होगी। सामान्य गलतियाँ: कभी‑कभी लोग सभी उपसमुच्चयों \(2^4=16\) को ही उत्तर मान लेते हैं, पर प्रश्न केवल उन उपसमुच्चयों के बारे में है जिनमें \(4\) मौजूद है—इसलिए उत्तर आधा होता है। परीक्षा सुझाव: किसी n‑तत्व सेट में किसी विशेष तत्व को अनिवार्य मानने पर उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\). Fixing \(4\) as included leaves three elements (1,2,3), each of which can be either present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. A common error is to use the total number of subsets \(2^4=16\); but the question asks only for subsets that contain 4, which is exactly half of the total. Exam tip: for an n‑element set, the number of subsets containing a given element is \(2^{n-1}\).

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यदि \(A=\{x: x\in \mathbb{N},\; x\le 4\}\) है तो उन उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है जिनमें \(4\) शामिल हो? / If \(A=\{x: x\in \mathbb{N},\; x\le 4\}\), how many subsets of A contain \(4\)?

Correct Answer: B. 8. Explanation: यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) है। यदि हम \(4\) को शामिल करना निश्चित कर दें तो शेष तीन तत्व (1,2,3) प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या \(2^3=8\) होगी। सामान्य गलतियाँ: कभी‑कभी लोग सभी उपसमुच्चयों \(2^4=16\) को ही उत्तर मान लेते हैं, पर प्रश्न केवल उन उपसमुच्चयों के बारे में है जिनमें \(4\) मौजूद है—इसलिए उत्तर आधा होता है। परीक्षा सुझाव: किसी n‑तत्व सेट में किसी विशेष तत्व को अनिवार्य मानने पर उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\). Fixing \(4\) as included leaves three elements (1,2,3), each of which can be either present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. A common error is to use the total number of subsets \(2^4=16\); but the question asks only for subsets that contain 4, which is exactly half of the total. Exam tip: for an n‑element set, the number of subsets containing a given element is \(2^{n-1}\).