यदि A = B है, तो \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(B)\) के बारे में क्या सत्य है?

Correct Answer: A. घात समुच्चय समान हैं: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\) / The power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Explanation: यदि A = B है तो हर उपसमुच्चय X जो A का है, वही B का भी होगा और इसके विपरीत भी सत्य है। अतः उपसमुच्चयों का समुच्चय अर्थात् घात समुच्चय भी समान होगा। गलत विकल्प (B) इसलिए गलत है क्योंकि सही उपसमुच्चय (proper subset) तब ही बनता है जब समुच्चय असमान हों; यहाँ समानता है। परिक्षा-टिप: समुच्चयों की बराबरी दिखाने के लिए दो-दिशीय समावेशन (double inclusion) सिद्धांत या पहचान मैपिंग \(X\mapsto X\) प्रयोग करें। / If A = B then every subset X of A is also a subset of B and vice versa, so the collection of all subsets (the power set) is identical: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Option B is wrong because a proper subset requires strict inclusion, which contradicts equality. Exam tip: prove power-set equality by double inclusion or by the identity bijection \(X\mapsto X\) between \(\mathcal{P}(A)\) and \(\mathcal{P}(B)\).