Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Medium · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
Up to 25 questions from this page. Select your focus, then start.
Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है।
The intersection point is the common solution of both equations. Adding the equations gives \(3x=12\), so \(x=4\). Substituting this into \(x-3y=-6\) gives \(4-3y=-6\), hence \(y=\frac{10}{3}\). Therefore, the intersection is \(\left(4,\frac{10}{3}\right)\). Option B incorrectly reverses the coordinates. Exam tip: After reading an intersection point from a graph, verify it in both equations.प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(3x=12\), अतः \(x=4\)। अब \(x-3y=-6\) में \(x=4\) रखने पर \(4-3y=-6\), इसलिए \(y=\frac{10}{3}\)। अतः सही बिंदु \(\left(4,\frac{10}{3}\right)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं। परीक्षा टिप: ग्राफ में प्रतिच्छेद बिंदु पढ़ने के बाद दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँच करें।
Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं।
The governing principle is that the point where two graphed lines meet must satisfy both equations. Subtract the second equation from the first: (3x + 2y) − (x + 2y) = 19 − 9. This gives 2x = 10, so x = 5. Substitute x = 5 into x + 2y = 9: 5 + 2y = 9, hence 2y = 4 and y = 2. The intersection is therefore (5, 2), making option A correct. Checking the point gives 3(5) + 2(2) = 19 and 5 + 2(2) = 9. Option B reverses the coordinates. Options C and D fail one or both original equations, so they cannot represent the common point on the graph.ग्राफ पर दो रेखाओं के मिलने वाला बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाएँ: (3x + 2y) − (x + 2y) = 19 − 9। इससे 2x = 10 और x = 5 मिलता है। अब x + 2y = 9 में x = 5 रखने पर 5 + 2y = 9, इसलिए 2y = 4 और y = 2 प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु (5, 2) है और विकल्प A सही है। जाँचने पर 3(5) + 2(2) = 19 तथा 5 + 2(2) = 9 दोनों सही हैं। विकल्प B में निर्देशांक उलट दिए गए हैं। विकल्प C और D में से प्रत्येक कम-से-कम एक मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता, इसलिए वे ग्राफ के साझा बिंदु नहीं हो सकते।
To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(7(0)+2y=28\), so \(y=14\). Therefore, the line cuts the \(y\)-axis at \((0,14)\). Option B is the \(x\)-intercept because it is obtained by putting \(y=0\). Exam tip: For a \(y\)-intercept, always set \(x=0\).\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(7(0)+2y=28\), अर्थात् \(y=14\)। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,14)\) पर काटती है। विकल्प B \(x\)-अवरोध है, क्योंकि उसमें \(y=0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें।
To find the x-intercept, put \(y=0\). Then \(2x-5(0)=20\), so \(2x=20\) and \(x=10\). Therefore, the x-intercept is \((10,0)\). Option D has an incorrect x-coordinate, while options A and C lie on the y-axis. Exam tip: Set \(y=0\) to find the x-intercept.x-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखते हैं। तब \(2x-5(0)=20\), अर्थात् \(2x=20\) और \(x=10\)। इसलिए x-अवरोध \((10,0)\) है। विकल्प D में x-निर्देशांक गलत है, जबकि विकल्प A और C y-अक्ष पर स्थित बिंदु दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें।
Dividing the first equation by (5) gives (x+2y=6). Hence both lines are coincident and give infinitely many solutions.पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं।
Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=22), different from the second. Therefore the lines are parallel and have no solution.पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=22), जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है।
The intersection of two lines is the ordered pair that satisfies both line equations. Since the terms involving y are identical, subtracting one equation from the other removes 5y and makes the calculation simple. Starting with 2x+5y=16 and subtracting x+5y=13 gives x=3.
Now substitute x=3 into the first equation: 3+5y=13. Therefore 5y=10 and y=2. The lines meet at (3,2), so option A is correct. Checking the second equation gives 2(3)+5(2)=6+10=16, confirming the result. A point such as (2,3) may look similar because its coordinates are reversed, but it gives 2+15=17 in the first equation and therefore is not the intersection.दो रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु वह क्रमित युग्म होता है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। यहाँ दोनों समीकरणों में 5y समान है, इसलिए घटाने पर यह पद समाप्त हो जाता है। दूसरे समीकरण 2x+5y=16 में से पहले समीकरण x+5y=13 घटाने पर x=3 मिलता है।
अब x=3 को पहले समीकरण में रखने पर 3+5y=13, इसलिए 5y=10 और y=2 प्राप्त होता है। अतः रेखाएँ (3,2) पर मिलती हैं और विकल्प A सही है। दूसरे समीकरण में जाँच करने पर 2(3)+5(2)=6+10=16 मिलता है। (2,3) केवल निर्देशांकों का उलटा क्रम है; उसे रखने पर पहला समीकरण 17=13 बनेगा, इसलिए वह सही नहीं है।
At ( (4,2) ), (4(4)+2=18), but (4+2=6). For a common solution, the point must satisfy both equations.( (4,2) ) पर (4(4)+2=18), लेकिन (4+2=6)। सामान्य हल के लिए बिंदु को दोनों समीकरण संतुष्ट करने चाहिए।
The intersection point must satisfy both equations. Substituting \(x=-2\) into \(3x+y=1\) gives \(3(-2)+y=1\), or \(-6+y=1\), so \(y=7\). Therefore, the intersection point is \((-2,7)\). Option C has the wrong sign for the \(y\)-coordinate. Exam tip: Every point on the vertical line \(x=-2\) has \(x\)-coordinate \(-2\).प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरण संतुष्ट होने चाहिए। \(x=-2\) को \(3x+y=1\) में रखने पर \(3(-2)+y=1\), अर्थात \(-6+y=1\), इसलिए \(y=7\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-2,7)\) है। विकल्प C में \(y\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=-2\) पर प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-2\) ही होता है।
Every point on the line \(y=4\) has y-coordinate 4. Substituting this into the other equation gives \(2x+3(4)=22\), so \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,4)\). Option B incorrectly swaps the x- and y-coordinates. Exam tip: for a horizontal line \(y=c\), the y-coordinate is fixed at \(c\).रेखा \(y=4\) पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक 4 होता है। इसे दूसरी रेखा में रखने पर \(2x+3(4)=22\), अर्थात् \(2x=10\) और \(x=5\)। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((5,4)\) है। विकल्प B में x और y के निर्देशांक उलट दिए गए हैं। परीक्षा में क्षैतिज रेखा \(y=c\) के लिए पहले y-निर्देशांक निश्चित करें।
Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है।
Substituting \(\left(5,3\right)\) makes both equations true. In graphical method this common point is the solution.\(\left(5,3\right)\) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में यही सामान्य बिंदु हल होता है।
At \(\left(4,3\right)\), \(4+3\left(3\right)=13\), so check options carefully. The correct intersection is \(\left(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right)\).\(\left(4,3\right)\) पर \(4+3\left(3\right)=13\) नहीं है इसलिए विकल्प जाँचें। सही प्रतिच्छेद \(\left(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right)\) है।
From \(2x-y=3\), \(y=2x-3\), and substituting in the first equation gives \(x=\frac{24}{7}\). Then \(y=\frac{27}{7}\).\(2x-y=3\) से \(y=2x-3\) और पहले समीकरण में रखने पर \(x=\frac{24}{7}\) मिलता है। फिर \(y=\frac{27}{7}\) है।
At \(\left(4,2\right)\), \(3\left(4\right)+2\left(2\right)=16\) and \(4+2=6\). If both are true, the point is the intersection.\(\left(4,2\right)\) पर \(3\left(4\right)+2\left(2\right)=16\) और \(4+2=6\)। दोनों सत्य हों तो बिंदु प्रतिच्छेद है।
Substituting \(\left(4,3\right)\) gives \(2\left(4\right)-3\left(3\right)=-1\), so it is not correct. The correct solution is \(\left(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right)\).\(\left(4,3\right)\) रखने पर \(2\left(4\right)-3\left(3\right)=-1\), इसलिए यह नहीं है। सही हल \(\left(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right)\) है।
Using \(y=7-x\) from \(x+y=7\), we get \(2x-3\left(7-x\right)=1\). Thus \(x=\frac{22}{5}\) and \(y=\frac{13}{5}\).\(x+y=7\) से \(y=7-x\) रखकर \(2x-3\left(7-x\right)=1\) मिलता है। इससे \(x=\frac{22}{5}\) और \(y=\frac{13}{5}\) है।
The intersection point must satisfy both line equations. Subtracting the second equation from the first gives \(3x=9\), so \(x=3\). Substituting this into \(x+y=9\) gives \(y=6\). Therefore, the intersection point is \((3,6)\). For example, option C satisfies \(x+y=9\), but \(4x+y=21\), so it is incorrect. Exam tip: always verify the obtained point in both equations.प्रतिच्छेद-बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर \(3x=9\), अतः \(x=3\)। अब \(x+y=9\) में रखने पर \(y=6\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रतिच्छेद-बिंदु \((3,6)\) है। उदाहरण के लिए, विकल्प C में \(x+y=9\) तो है, लेकिन \(4x+y=21\), इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें।
At \(\left(3,2\right)\), \(3-2\left(2\right)=-1\), so it is not correct. The correct solution is \(\left(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right)\).\(\left(3,2\right)\) पर \(3-2\left(2\right)=-1\) है इसलिए यह नहीं है। सही हल \(\left(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right)\) है।
The first equation gives \(x=2y-4\). Substituting in \(3x+y=11\) gives \(y=\frac{23}{7}\) and \(x=\frac{18}{7}\).पहले समीकरण से \(x=2y-4\) मिलता है। इसे \(3x+y=11\) में रखने पर \(y=\frac{23}{7}\) और \(x=\frac{18}{7}\) है।
At \(\left(3,3\right)\), \(2\left(3\right)+5\left(3\right)=21\) and \(3+3=6\). This is the common point of both lines.\(\left(3,3\right)\) पर \(2\left(3\right)+5\left(3\right)=21\) और \(3+3=6\)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है।
To find the x-intercept, put y=0: 3x=30, so x=10 and the point is (10, 0). To find the y-intercept, put x=0: 5y=30, so y=6 and the point is (0, 6). Option B reverses the two intercept values. Exam tip: set y=0 for the x-intercept and x=0 for the y-intercept.x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=0 रखें: 3x=30, इसलिए x=10 और बिंदु (10, 0) है। y-अवरोध के लिए x=0 रखें: 5y=30, इसलिए y=6 और बिंदु (0, 6) है। विकल्प B में दोनों अवरोधों के मान आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए y=0 और y-अवरोध के लिए x=0 रखें।
To find the \(y\)-intercept, set \(x=0\), because every point on the \(y\)-axis has an \(x\)-coordinate of zero. Thus, \(4(0)-3y=24\), giving \(y=-8\). Therefore, the \(y\)-intercept is \((0,-8)\). Option C is the \(x\)-intercept because it is obtained by setting \(y=0\). Exam tip: set \(x=0\) for the \(y\)-intercept and \(y=0\) for the \(x\)-intercept.किसी रेखा का \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं, क्योंकि \(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक शून्य होता है। अतः \(4(0)-3y=24\), जिससे \(y=-8\) प्राप्त होता है। इसलिए \(y\)-अवरोध \((0,-8)\) है। विकल्प C में \(y=0\) रखा गया है, इसलिए वह \(x\)-अवरोध है। परीक्षा में याद रखें: \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\), जबकि \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखें।
