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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Hard · Level 6 · 10 questions
TOPIC PRACTICE
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The second equation must be (2) times the first, so (kx=4x) and (k=4). In the coincident case, the whole line remains the same.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (kx=4x) और (k=4)। संपाती स्थिति में पूरी रेखा समान रहती है।
Putting (x=2) in (2x+3y=13) gives (4+3y=13), so (y=3). With a vertical line, (x) is already fixed.(x=2) को (2x+3y=13) में रखने पर (4+3y=13), इसलिए (y=3)। ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ समाधान में (x) पहले से तय होता है।
The line y = -1 is horizontal, so the y-coordinate of the intersection must be -1. Substituting y = -1 in the second equation gives 3x - 2(-1) = 11, or 3x + 2 = 11, hence x = 3. Therefore, the intersection point is (3, -1). In option B, the coordinates are reversed, while option D has the correct y-coordinate but 3(5) - 2(-1) = 17, not 11. Exam tip: always substitute the obtained point into both equations to verify it.पहली रेखा y = -1 एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक -1 होगा। इसे दूसरी रेखा में रखने पर 3x - 2(-1) = 11, अर्थात 3x + 2 = 11 और x = 3। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु (3, -1) है। विकल्प B में निर्देशांकों का क्रम उलट गया है, जबकि विकल्प D में y तो -1 है, लेकिन 3(5) - 2(-1) = 17, जो 11 के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें।
The equations are (x+y=100) and (y-x=20), giving (x=40), (y=60). In word problems, first form the two correct linear equations.समीकरण (x+y=100) और (y-x=20) हैं, जिनसे (x=40), (y=60)। शब्द-प्रश्न में पहले दो सही रेखीय समीकरण बनाएं।
The equations are (x+y=18) and (x-y=4), so (x=11), (y=7). On the graph, the intersection is this point.समीकरण (x+y=18) और (x-y=4) हैं, इसलिए (x=11), (y=7)। ग्राफ में इन रेखाओं का प्रतिच्छेद यही बिंदु है।
(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\neq\frac{7}{20}), so the lines are distinct and parallel. This case gives no solution.(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\neq\frac{7}{20}), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। यह स्थिति कोई समाधान नहीं देती।
The second equation is (3) times the first, so both lines fully overlap. The solution is all points on the same line.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं पूरी तरह मिलती हैं। समाधान पूरी समान रेखा के सभी बिंदु हैं।
(\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}\neq\frac{6}{13}), so the lines are parallel. Distinct parallel lines have no intersection.(\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}\neq\frac{6}{13}), इसलिए रेखाएं समांतर हैं। समांतर अलग-अलग रेखाओं का कोई प्रतिच्छेद नहीं होता।
The intersection point always lies on both lines, so it satisfies both equations. A graphical solution can always be checked in both equations.प्रतिच्छेद बिंदु हमेशा दोनों रेखाओं पर होता है, इसलिए वह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफीय समाधान को हमेशा दोनों समीकरणों में जांच सकते हैं।
The governing condition for infinitely many solutions is that the two linear equations represent the same, coincident line. The left side of the second equation is exactly twice the left side of the first: 2(3x + 2y) = 6x + 4y. Therefore its constant term must also be twice the first constant: 2p = 20. Dividing by 2 gives p = 10, so option B is correct. If p were 5, the first equation multiplied by 2 would have constant 10, not 20. If p were 15 or 20, the coefficient ratios would no longer match the constant ratio, producing parallel distinct lines or a unique intersection rather than infinitely many solutions. Thus equality of all corresponding ratios is essential.अनंत समाधानों की मुख्य शर्त यह है कि दोनों रैखिक समीकरण एक ही, अर्थात् संपाती, रेखा को दर्शाएँ। दूसरे समीकरण का बायाँ पक्ष पहले समीकरण के बाएँ पक्ष का ठीक दोगुना है: 2(3x + 2y) = 6x + 4y। इसलिए स्थिर पद भी पहले स्थिर पद का दोगुना होना चाहिए। अतः 2p = 20 और दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर p = 10 मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। यदि p = 5 होता, तो पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर स्थिर पद 10 आता, 20 नहीं। p = 15 या 20 पर गुणांकों और स्थिर पदों का अनुपात समान नहीं रहेगा, इसलिए अनंत समाधान नहीं मिलेंगे।
