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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Hard · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Substituting \(\left(5,2\right)\) gives \(5\left(5\right)+3\left(2\right)=31\) and \(5+2=7\). If both equations are true, that is the intersection.\(\left(5,2\right)\) रखने पर \(5\left(5\right)+3\left(2\right)=31\) और \(5+2=7\)। दोनों समीकरण सत्य हों तो वही प्रतिच्छेद है।
Elimination gives \(17y=50\) and \(x=\frac{91}{17}\). Fraction coordinates can also be graphical solutions.उन्मूलन से \(17y=50\) और \(x=\frac{91}{17}\) मिलता है। भिन्न निर्देशांक भी ग्राफीय हल हो सकते हैं।
(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3), but (\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5}). Hence the lines are parallel and inconsistent.(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3), लेकिन (\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5})। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं।
The direct answer is option C: the graphs are coincident, meaning they are the same line. Compare the equations 8x-12y=20 and 2x-3y=5. Dividing every term of the first equation by 4 gives 2x-3y=5, exactly the second equation. Multiplying or dividing a whole linear equation by a nonzero number does not change its graph. Therefore every point on one line lies on the other, so there are infinitely many common solutions. A, parallel and distinct, is wrong because distinct parallel lines have different equations after simplification and no common point. B, intersecting at one point, is wrong because that would produce one common solution, not identical equations. D, intersecting at the origin, is wrong because the origin (0,0) does not satisfy 2x-3y=5; its left side is 0, not 5. Coincident lines are visually one line drawn twice. Memory cue: simplify both equations first; identical simplified equations mean coincident lines.सीधा उत्तर विकल्प C है: दोनों ग्राफ संपाती हैं, अर्थात दोनों एक ही रेखा हैं। पहली समीकरण 8x-12y=20 के हर पद को 4 से भाग दें। हमें 2x-3y=5 मिलता है, जो दूसरी समीकरण के बिल्कुल समान है। किसी पूरी रैखिक समीकरण को शून्य से भिन्न संख्या से गुणा या भाग देने पर उसके बिंदु और ग्राफ नहीं बदलते। इसलिए दोनों रेखाओं का प्रत्येक बिंदु समान है और अनंत समान हल मिलते हैं। A, समांतर और अलग, गलत है क्योंकि अलग समांतर रेखाओं का सरल रूप समान नहीं होता और वे मिलती नहीं हैं। B, एक बिंदु पर कटना, गलत है क्योंकि उसमें केवल एक साझा हल होता, जबकि यहां दोनों समीकरण एक ही हैं। D, मूलबिंदु पर कटना, गलत है; (0,0) रखने पर 2x-3y=0 मिलता है, 5 नहीं। संपाती रेखाएं कागज पर एक ही रेखा जैसी दिखती हैं। याद रखें: पहले दोनों समीकरण सरल करें; समान सरल समीकरण का अर्थ संपाती रेखाएं है।
To find the x-intercept, put y=0: 9x=45, giving x=5 and the point \\( (5,0) \\). To find the y-intercept, put x=0: -5y=45, giving y=-9 and the point \\( (0,-9) \\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly treats 9 and 5 as the coordinates instead of calculating the intercepts. Exam tip: set y=0 for the x-intercept and x=0 for the y-intercept.x-अवरोध ज्ञात करने के लिए y=0 रखें: 9x=45, इसलिए x=5 और बिंदु \\( (5,0) \\) है। y-अवरोध के लिए x=0 रखें: -5y=45, इसलिए y=-9 और बिंदु \\( (0,-9) \\) है। अतः सही युग्म विकल्प A है। विकल्प C में 9 और 5 को सीधे निर्देशांकों की तरह लिया गया है, जो अवरोध ज्ञात करने की सही प्रक्रिया नहीं है। परीक्षा-युक्ति: x-अवरोध के लिए y=0 तथा y-अवरोध के लिए x=0 रखें।
Putting \(x=-5\) gives \(4\left(-5\right)-3y=7\), so \(y=-9\). In a vertical line, (x) is already fixed.\(x=-5\) रखने पर \(4\left(-5\right)-3y=7\), इसलिए \(y=-9\)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से निश्चित होता है।
At the intersection, both equations must hold. Since \(y=6\), substitute 6 for \(y\) in the second equation: \(5x-2(6)=23\), so \(5x=35\) and \(x=7\). Thus, the intersection point is \((7,6)\).प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों समीकरण सही होते हैं। चूँकि \(y=6\), इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \(5x-2(6)=23\) मिलता है। इसलिए \(5x=35\) और \(x=7\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((7,6)\) है।
The intersection point on the graph must satisfy both equations simultaneously. Adding the two equations gives \(5x=25\), so \(x=5\). Substituting this into the first equation gives \(5+3y=14\), hence \(y=3\). Therefore, the intersection point is \((5,3)\). Exam tip: verify a suspected ordered pair in both equations before selecting it.ग्राफ पर प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(5x=25\), अतः \(x=5\)। पहले समीकरण में रखने पर \(5+3y=14\), इसलिए \(y=3\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,3)\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प को सही मानने से पहले उसके दोनों समीकरणों में मान रखकर जाँच करें।
\(\left(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right)\) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using the graph scale.\(\left(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right)\) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। भिन्न निर्देशांक को ग्राफ के पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें।
At \(\left(2,5\right)\), \(3\left(2\right)+4\left(5\right)=26\), but \(2+5=7\) also, so check fully. The correct non-common point is \(\left(4,\frac{7}{2}\right)\).\(\left(2,5\right)\) पर \(3\left(2\right)+4\left(5\right)=26\), लेकिन \(2+5=7\) भी है, इसलिए जाँच पूरी करें। सही अलग बिंदु \(\left(4,\frac{7}{2}\right)\) है।
The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें।
Multiplying the first equation by (2) gives (10x-6y=20), while the second is (10x-6y=25). Hence the lines are parallel and distinct.पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (10x-6y=20), जबकि दूसरा (10x-6y=25) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं।
Every point on coincident lines satisfies both equations, so the system has infinitely many solutions. Check \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\). Distinct parallel lines have no solution. Exam tip: identify the line relationship before selecting the answer.संपाती रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए अनंत अनेक हल होते हैं। जाँचें: \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\)। समानांतर भिन्न रेखाओं में कोई हल नहीं होता। परीक्षा टिप: ग्राफ का संबंध पहले पहचानें।
The line \(x=0\) represents the y-axis, so substitute \(x=0\) into the first equation: \(6(0)-7y=42\), giving \(-7y=42\) and hence \(y=-6\). Therefore, the intersection point is \((0,-6)\). Option A has the wrong sign for the y-coordinate, while option C is the x-intercept of the first line and does not lie on \(x=0\). Exam tip: when \(x=0\), the first coordinate of the point must be zero.रेखा \(x=0\) y-अक्ष को दर्शाती है, इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए पहली रेखा के समीकरण में \(x=0\) रखें: \(6(0)-7y=42\), अर्थात \(-7y=42\), जिससे \(y=-6\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेदन बिंदु \((0,-6)\) है। विकल्प A में \(y\) का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C पहली रेखा का x-अवरोध है, y-अक्ष पर स्थित बिंदु नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x=0\) होने पर बिंदु का पहला निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।
(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3), but (\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{4}). Hence the lines are parallel and inconsistent.(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3), लेकिन (\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{4})। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं।
At \(x=0\), \(y=-4\), and at \(y=0\), \(x=16\). While finding intercepts, note which variable is kept zero.\(x=0\) पर \(y=-4\) और \(y=0\) पर \(x=16\)। अवरोध निकालते समय कौन-सा चर शून्य रखा है, यह ध्यान रखें।
\(3.75=\frac{15}{4}\) and \(-2.5=-\frac{5}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.\(3.75=\frac{15}{4}\) और \(-2.5=-\frac{5}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है।
Substituting \(\left(4,5\right)\) gives \(3\left(4\right)+5=17\) and \(4+3\left(5\right)=19\). This is the common point of both lines.\(\left(4,5\right)\) रखने पर \(3\left(4\right)+5=17\) और \(4+3\left(5\right)=19\)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है।
From the first line, \(y=6x-19\). Substituting this into the second equation gives \(x+3(6x-19)=22\), so \(19x=79\) and \(x=\frac{79}{19}\). Therefore, \(y=6\left(\frac{79}{19}\right)-19=\frac{113}{19}\). Hence, the intersection point is \(\left(\frac{79}{19},\frac{113}{19}\right)\). In option B, the values of \(x\) and \(y\) are interchanged. Exam tip: Substitute the ordered pair into both original equations to verify the solution.पहली रेखा से \(y=6x-19\) प्राप्त होता है। इसे दूसरी समीकरण में रखने पर \(x+3(6x-19)=22\), अतः \(19x=79\) और \(x=\frac{79}{19}\)। तब \(y=6\left(\frac{79}{19}\right)-19=\frac{113}{19}\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \(\left(\frac{79}{19},\frac{113}{19}\right)\) है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के मान उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें।
Substituting the first point in \(2x+y=5\) gives \(2(-2)+9=5\), and substituting the second point gives \(2(3)+(-1)=5\). Thus, both points lie on this line. Options B and D satisfy only one of the points, while option C does not correctly satisfy either given point. Exam tip: To verify the equation of a line, substitute both given ordered pairs into it.समीकरण \(2x+y=5\) में पहला बिंदु रखने पर \(2(-2)+9=5\) और दूसरा बिंदु रखने पर \(2(3)+(-1)=5\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों बिंदु इसी रेखा पर स्थित हैं। विकल्प B और D केवल एक बिंदु को संतुष्ट करते हैं, जबकि विकल्प C किसी भी दिए गए बिंदु को सही रूप से संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: रेखा का समीकरण जाँचने के लिए दिए गए दोनों क्रमित युग्मों को उसमें प्रतिस्थापित करें।
Dividing the second equation by (2) gives (2x+3y=15). Same left side with different constants gives parallel lines.दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं।
The point of intersection is the common solution of both linear equations. Subtracting the second equation from the first gives \((3x+4y)-(3x-y)=31-11\), so \(5y=20\) and hence \(y=4\). Substituting \(y=4\) into \(3x-y=11\) gives \(3x-4=11\), which leads to \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,4)\). As an exam tip, verify the ordered pair in both equations before selecting the answer.प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का उभयनिष्ठ हल होता है। पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर \((3x+4y)-(3x-y)=31-11\), अर्थात् \(5y=20\), इसलिए \(y=4\)। अब \(3x-y=11\) में \(y=4\) रखने पर \(3x-4=11\), जिससे \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,4)\) है। परीक्षा में उत्तर जाँचने के लिए दोनों समीकरणों में \(x\) और \(y\) के मान अवश्य रखें।
The intersection point \(\left(4,3\right)\) satisfies both equations. Substituting \(x=4\) and \(y=3\) into the first equation gives \(3(4)+a(3)=22\), or \(12+3a=22\). Thus, \(3a=10\), so \(a=\frac{10}{3}\). Option D results from dividing \(22\) by \(3\) without first subtracting the \(12\) contributed by \(3x\). Exam tip: Substitute the coordinates of the graphical intersection point into the equation containing the unknown parameter.प्रतिच्छेद बिंदु \(\left(4,3\right)\) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले समीकरण में \(x=4\) और \(y=3\) रखने पर \(3(4)+a(3)=22\), अर्थात \(12+3a=22\)। इसलिए \(3a=10\) और \(a=\frac{10}{3}\)। विकल्प D में \(22\) को सीधे \(3\) से भाग दिया गया है, लेकिन पहले \(12\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद बिंदु के दोनों निर्देशांकों को दिए गए समीकरण में रखकर अज्ञात नियतांक ज्ञात करें।
Dividing (6x-4y=20) by (2) gives (3x-2y=10). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.(6x-4y=20) को (2) से भाग देने पर (3x-2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं।
Subtracting the equations gives \(3x=15\), so \(x=5\) and \(y=3\). In a real situation this is the meeting point.दोनों समीकरण घटाने पर \(3x=15\), इसलिए \(x=5\) और \(y=3\)। वास्तविक स्थिति में यही मिलन बिंदु है।
