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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Hard · Level 1 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Solving both equations gives \(x=\frac{25}{7}\) and \(y=\frac{23}{7}\). On the graph this is the intersection point.दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{25}{7}\) और \(y=\frac{23}{7}\) मिलता है। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु होगा।
From the second equation, \(x=23-5y\). Substituting this into the first equation gives \(3(23-5y)-2y=4\), or \(69-17y=4\), so \(y=\frac{65}{17}\). Therefore, \(x=23-5\left(\frac{65}{17}\right)=\frac{66}{17}\). Hence, the two lines intersect at \(\left(\frac{66}{17},\frac{65}{17}\right)\). In option B, the value of \(x\) is incorrect. Exam tip: The graphical solution is the common point of the two lines; verify the point by substituting it into both equations.दूसरे समीकरण से \(x=23-5y\)। इसे पहले समीकरण में रखने पर \(3(23-5y)-2y=4\), अर्थात् \(69-17y=4\), इसलिए \(y=\frac{65}{17}\)। तब \(x=23-5\left(\frac{65}{17}\right)=\frac{66}{17}\)। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु \(\left(\frac{66}{17},\frac{65}{17}\right)\) है। विकल्प B में \(x\) का मान गलत है। परीक्षा-टिप: ग्राफीय हल रेखाओं का साझा प्रतिच्छेद-बिंदु होता है; प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर जाँचें।
\(\left(2,3\right)\) satisfies both equations. In difficult options, direct substitution is the fastest check.\(\left(2,3\right)\) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। कठिन विकल्पों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सबसे तेज जाँच है।
Elimination gives \(19y=69\) and \(x=\frac{106}{19}\). Fraction coordinates can also be graphical solutions.उन्मूलन से \(19y=69\) और \(x=\frac{106}{19}\) मिलता है। भिन्न निर्देशांक भी ग्राफीय हल हो सकते हैं।
(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2), but (\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7}). Hence the lines are parallel and inconsistent.(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2), लेकिन (\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7})। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं।
The direct answer is C: the graphs are coincident, meaning they are the same line. Compare the equations \(6x-9y=15\) and \(2x-3y=5\). Divide every term of the first equation by 3: \((6x-9y)/3=15/3\), giving \(2x-3y=5\), exactly the second equation. Therefore every point satisfying one equation satisfies the other, so there are infinitely many common solutions. Option C is correct. Option A, parallel and distinct, would apply if the coefficients of x and y were proportional but the constants were not proportional. Option B, intersecting at one point, would mean the two equations represented different lines with different slopes. Option D, intersecting at the origin, is not possible here because the origin gives 0=15 in the first equation, which is false. Exam cue: if one complete linear equation is a non-zero multiple of the other, the lines are coincident.सीधा उत्तर C है: दोनों ग्राफ संपाती हैं, अर्थात दोनों एक ही रेखा हैं। पहली समीकरण \(6x-9y=15\) के प्रत्येक पद को 3 से भाग दें: \(6x/3-9y/3=15/3\), इसलिए \(2x-3y=5\) मिलता है, जो दूसरी समीकरण के बिल्कुल समान है। अतः एक समीकरण को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक बिंदु दूसरी को भी संतुष्ट करता है और अनंत समान हल होते हैं। विकल्प C सही है। विकल्प A, समांतर और अलग, तब होता जब x और y के गुणांक समान अनुपात में हों लेकिन स्थिरांक उस अनुपात में न हों। विकल्प B एक बिंदु पर कटने के लिए अलग ढलान वाली रेखाएँ चाहिए। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि मूलबिंदु पर पहली समीकरण का बायाँ पक्ष 0 है, 15 नहीं। याद रखें: यदि एक पूरी समीकरण दूसरी की गैर-शून्य गुणज हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं।
Multiplying the first equation by (2) gives (6x-2y=10), while the second is (6x-2y=11). Hence the lines are parallel and have no solution.पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-2y=10), जबकि दूसरा (6x-2y=11) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है।
For the x-intercept, put \(y=0\): \(7x=28\), giving \(x=4\), so the point is \((4,0)\). For the y-intercept, put \(x=0\): \(-4y=28\), giving \(y=-7\), so the point is \((0,-7)\). Therefore, option A is correct. Exam tip: check the sign of the y-intercept and maintain the stated order—x-intercept first, y-intercept second.x-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखें: \(7x=28\), इसलिए \(x=4\) और बिंदु \((4,0)\) है। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें: \(-4y=28\), इसलिए \(y=-7\) और बिंदु \((0,-7)\) है। अतः सही युग्म A है। ध्यान रखें कि y-अवरोध ऋणात्मक है और क्रम x-अवरोध, फिर y-अवरोध है।
Putting \(x=-4\) gives \(3\left(-4\right)-2y=10\), so \(y=-11\). In a vertical line, (x) is already fixed.\(x=-4\) रखने पर \(3\left(-4\right)-2y=10\), इसलिए \(y=-11\)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से निश्चित होता है।
The point of intersection must satisfy both line equations. From the first line, \(y=5\). Substituting this into the second equation gives \(4x-3(5)=17\), so \(4x=32\) and \(x=8\). Hence, the intersection point is \((8,5)\). Remember that \(y=5\) is a horizontal line, so its points all have y-coordinate 5.प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहली रेखा से \(y=5\) मिलता है। इसे दूसरी रेखा में रखने पर \(4x-3(5)=17\), अर्थात् \(4x=32\) और \(x=8\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((8,5)\) है। ध्यान रखें कि \(y=5\) एक क्षैतिज रेखा है, इसलिए प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 5 होता है।
When all three ratios are equal, both equations represent the same line. Therefore there are infinitely many common points.तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। इसलिए अनंत सामान्य बिंदु होते हैं।
The direct answer is C: there is exactly one solution. For two lines \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), unequal ratios \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) mean their direction slopes are different. Lines with different slopes cannot remain parallel or identical; they meet at one and only one point. Therefore the pair is consistent and independent and has exactly one solution. Option A, no solution, applies to distinct parallel lines, usually when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Option B, infinitely many solutions, applies to coincident lines, when all three ratios are equal. Option C is correct. Option D is wrong because unequal coefficient ratios do not make lines identical; identical lines require matching ratios. Exam cue: compare the first two ratios. Unequal means one intersection; equal first two ratios require checking the constant ratio.सीधा उत्तर C है: ठीक एक हल होता है। दो रेखाओं \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो उनकी दिशाएँ या ढलान अलग होती हैं। अलग ढलान वाली दो सीधी रेखाएँ न तो समानांतर रह सकती हैं और न ही एक-दूसरे पर पूरी तरह मिल सकती हैं; वे एक और केवल एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका ठीक एक हल है। विकल्प A, कोई हल नहीं, अलग समांतर रेखाओं के लिए होता है, जहाँ सामान्यतः पहले दो अनुपात बराबर लेकिन नियतांक का अनुपात अलग होता है। विकल्प B, अनंत हल, संपाती रेखाओं के लिए होता है, जहाँ तीनों अनुपात बराबर होते हैं। विकल्प C सही है। विकल्प D गलत है, क्योंकि असमान अनुपात रेखाओं को समान नहीं बनाते; समान रेखाओं के लिए अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा संकेत: पहले दो अनुपात देखें। वे असमान हों तो एक प्रतिच्छेद बिंदु; वे समान हों तो तीसरे अनुपात से समांतर या संपाती का निर्णय करें।
When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the two lines have the same slope but are not the same line. Hence, they are distinct parallel lines and have no common point. Coincident lines require all three ratios to be equal, while intersecting lines require the first two ratios to be unequal. Exam tip: Compare the ratios in the order \(a\), \(b\), and \(c\) to identify the graphical condition.जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है, लेकिन वे एक ही रेखा नहीं होतीं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ होती हैं और उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता। संपाती रेखाओं के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए, जबकि एक बिंदु पर प्रतिच्छेद के लिए पहले दो अनुपात समान नहीं होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों का क्रम \(a\), \(b\), \(c\) में मिलान करके संगत स्थिति पहचानें।
The intersection point is the common solution of both linear equations. Adding the equations gives \(4x=16\), so \(x=4\). Substituting this into \(x+2y=11\) gives \(4+2y=11\), hence \(y=\frac{7}{2}\). Therefore, the intersection point is \(\left(4,\frac{7}{2}\right)\). In option B, the values of \(x\) and \(y\) are interchanged. Exam tip: Always substitute the ordered pair into both equations to verify the intersection point.प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का समान हल होता है। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(4x=16\), अतः \(x=4\)। इसे \(x+2y=11\) में रखने पर \(4+2y=11\), इसलिए \(y=\frac{7}{2}\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \(\left(4,\frac{7}{2}\right)\) है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के मान उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें।
\(\left(3,\frac{5}{2}\right)\) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using scale on the graph.\(\left(3,\frac{5}{2}\right)\) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। ग्राफ में भिन्न निर्देशांक को पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें।
At \(\left(1,5\right)\), \(2\left(1\right)+5\left(5\right)=27\), but \(1+5=6\). To be a common solution, both equations must be true.\(\left(1,5\right)\) पर \(2\left(1\right)+5\left(5\right)=27\), लेकिन \(1+5=6\)। सामान्य हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए।
The direct answer is B: the mistake is treating coincident lines as having one solution. Multiplying 2x+3y=12 by 2 gives 4x+6y=24, which is exactly the second equation. Thus both equations represent the same line. Their common points are not limited to one point; every point on that line is a solution, so there are infinitely many solutions. Option A describes distinct parallel lines, which have no common point, so it is wrong. Option B is correct. Option C describes a misunderstanding of intersecting lines; intersecting lines meet at one point and therefore give one consistent solution. Option D concerns coordinate order and has no connection with coincident lines. Memory cue: one equation being a non-zero multiple of the other means the same line and infinitely many solutions.सीधा उत्तर B है: गलती यह है कि संपाती रेखाओं को एक हल वाला मान लिया गया। \(2x+3y=12\) को 2 से गुणा करने पर \(4x+6y=24\) मिलता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। उनका साझा केवल एक बिंदु नहीं, बल्कि उस रेखा का प्रत्येक बिंदु है; अतः अनंत हल हैं। A अलग-अलग समांतर रेखाओं की स्थिति बताता है, जिनका कोई साझा बिंदु नहीं होता, इसलिए गलत है। B सही है। C में प्रतिच्छेदी रेखाओं को गलत समझा गया है; प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं और एक संगत हल देती हैं। D निर्देशांकों के क्रम से जुड़ा है और यहाँ प्रासंगिक नहीं है। याद रखें: यदि एक समीकरण दूसरे का अशून्य गुणज हो, तो रेखाएँ वही होती हैं और हल अनंत होते हैं।
The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें।
Multiplying the first equation by (2) gives (6x-4y=12), while the second is (6x-4y=18). Hence the lines are parallel and distinct.पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-4y=12), जबकि दूसरा (6x-4y=18) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं।
The line \(y=0\) represents the \(x\)-axis, so the point of intersection must have \(y=0\). Substituting this into the first equation gives \(2x+3(0)=18\), hence \(2x=18\) and \(x=9\). Therefore, the intersection point is \((9,0)\). Exam tip: To find where a line meets the \(x\)-axis, put \(y=0\).रेखा \(y=0\), \(x\)-अक्ष को दर्शाती है, इसलिए प्रतिच्छेदन-बिंदु पर \(y=0\) होगा। पहली समीकरण में रखने पर \(2x+3(0)=18\), अर्थात \(2x=18\) और \(x=9\)। इसलिए प्रतिच्छेदन-बिंदु \((9,0)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए \(y=0\) रखें।
On the line \\(x=0\\), the x-coordinate of the intersection point must be 0. Substituting \\(x=0\\) in \\(4x-5y=20\\) gives \\(4(0)-5y=20\\), so \\(-5y=20\\) and \\(y=-4\\). Hence, the intersection point is \\((0,-4)\\). Option A has the wrong sign for \\(y\\). Exam tip: the line \\(x=0\\) is the y-axis, so substitute \\(x=0\\) directly into the other equation.रेखा \\(x=0\\) पर प्रतिच्छेदन-बिंदु का \\(x\\)-निर्देशांक 0 होगा। इसे \\(4x-5y=20\\) में रखने पर \\(4(0)-5y=20\\), अर्थात \\(-5y=20\\) और \\(y=-4\\)। इसलिए प्रतिच्छेदन-बिंदु \\((0,-4)\\) है। विकल्प A में \\(y\\) का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \\(x=0\\) वाली रेखा \\(y\\)-अक्ष होती है, इसलिए दूसरे समीकरण में सीधे \\(x=0\\) रखें।
(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2), but (\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4}). Hence the lines are parallel and inconsistent.(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2), लेकिन (\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4})। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं।
In the third pair, (\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}). Hence the lines intersect at one point and the pair is consistent independent.तीसरे युग्म में (\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2})। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं और युग्म संगत स्वतंत्र है।
At \(x=0\), \(y=-4\), and at \(y=0\), \(x=12\). While finding intercepts, note which variable is kept zero.\(x=0\) पर \(y=-4\) और \(y=0\) पर \(x=12\)। अवरोध निकालते समय कौन-सा चर शून्य रखा है, यह ध्यान रखें।
\(2.25=\frac{9}{4}\) and \(-1.5=-\frac{3}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.\(2.25=\frac{9}{4}\) और \(-1.5=-\frac{3}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है।
