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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Expert · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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From the second equation, (x=3y-11). Substituting gives (9y-33+2y=25), so (y=5). Then (x=5), so the intersection is ((5,5)).दूसरे से (x=3y-11), पहले में रखने पर (9y-33+2y=25), इसलिए (y=5)। फिर (x=5), अतः प्रतिच्छेद ((5,5)) है।
Substituting ((-1,6)) makes (2x+y=4) and (x-y=-7) both true. The intersection point must lie on both lines.((-1,6)) रखने पर (2x+y=4) और (x-y=-7) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए।
(\frac{9}{3}=\frac{12}{4}\neq\frac{45}{20}), so the lines are distinct and parallel. Check the constant term ratio also.(\frac{9}{3}=\frac{12}{4}\neq\frac{45}{20}), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। अनुपातों में स्थिर पद को भी देखें।
The first equation must be (4) times the second, so (a=20). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=20)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं।
The second equation is (3) times the first, so (m=21). In a coincident line, the coefficient of (y) also changes in the same ratio.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (m=21)। संपाती रेखा में (y) का गुणांक भी उसी अनुपात में बदलता है।
From the first equation, (y=43-8x). Substituting gives (2x-3(43-8x)=-5), so (x=5) and (y=3). Hence the (y)-coordinate is (3).पहले से (y=43-8x), रखने पर (2x-3(43-8x)=-5), इसलिए (x=5) और (y=3)। अतः (y)-निर्देशांक (3) है।
The direct answer is option A: the graphical solution is (45,29) , where the first coordinate represents the first group and the second coordinate represents the second group. Let the numbers of students be x and y. The total gives x+y=74. Since the first group has 16 more students, x-y=16. Adding these equations gives 2x=90, so x=45. Substituting in x+y=74 gives 45+y=74, hence y=29. Therefore the two lines meet at (45,29), which is their common solution. Option A is correct because it satisfies both equations: 45+29=74 and 45-29=16. Option B gives (29,45); its total is 74, but the first group is 16 fewer, not 16 more, so it reverses the groups. Option C gives (44,30); its total is 74, but the difference is only 14, so it fails the second condition. Option D gives (46,28); its difference is 18, not 16, although its total is 74. In a graph, the intersection point represents the ordered pair satisfying both lines. Memory cue: add the equations to find the first variable, and remember that the first coordinate belongs to the first group.सीधा उत्तर विकल्प A है: ग्राफीय समाधान (45,29) है, जहाँ पहला निर्देशांक पहले समूह और दूसरा निर्देशांक दूसरे समूह के विद्यार्थियों की संख्या बताता है। मान लें कि पहले और दूसरे समूह की संख्याएँ क्रमशः x और y हैं। कुल संख्या से x+y=74 मिलता है। पहला समूह दूसरे से 16 अधिक है, इसलिए x-y=16। दोनों समीकरण जोड़ने पर 2x=90, अतः x=45। अब x+y=74 में रखने पर 45+y=74, इसलिए y=29। इस प्रकार दोनों सीधी रेखाएँ (45,29) पर मिलती हैं और यही साझा हल है। विकल्प A सही है क्योंकि 45+29=74 तथा 45-29=16, दोनों शर्तें पूरी होती हैं। विकल्प B में (29,45) है; योग 74 है, लेकिन पहला समूह 16 अधिक होने के बजाय 16 कम हो जाता है। विकल्प C में योग 74 है, पर अंतर 44-30=14 है, इसलिए यह गलत है। विकल्प D में योग 74 है, लेकिन अंतर 46-28=18 है, 16 नहीं। ग्राफ में प्रतिच्छेद-बिंदु वही क्रमित युग्म होता है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। याद रखें: पहले चर के लिए समीकरण जोड़ें और क्रमित युग्म में समूहों का क्रम न बदलें।
Dividing the first equation by 3 and the second by 4 gives x + y = 33 and x − y = 7. Adding these equations gives 2x = 40, so x = 20 and y = 13. Therefore, the intersection point of the two lines, and hence the graphical solution, is (20, 13). Option B reverses the coordinates; for (13, 20), x − y = −7, so it is incorrect. Exam tip: the point where the two graphs intersect represents the solution of the pair of linear equations.पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 4 से भाग देने पर x + y = 33 तथा x − y = 7 प्राप्त होते हैं। दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद-बिंदु के लिए इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 40, अतः x = 20 और y = 13 मिलता है। इसलिए ग्राफीय हल (20, 13) है। विकल्प B में x और y के मान उलट गए हैं; वहाँ x − y = −7 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु ही युग्मित रेखीय समीकरणों का हल होता है।
The second equation is (4) times the first, so (4k=20) and (k=5). For infinite solutions, the lines must be coincident.दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए (4k=20) और (k=5)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए।
From the first equation, (y=38-6x). Substituting gives (3x-2(38-6x)=-1), so (x=5), (y=8). This is the graph intersection.पहले से (y=38-6x), दूसरे में रखने पर (3x-2(38-6x)=-1), इसलिए (x=5), (y=8)। यही ग्राफ का प्रतिच्छेद है।
Two distinct parallel lines never intersect, so they have no common point. Therefore, the pair has no solution and is called an inconsistent pair. Option B is incorrect because an intersection point exists only when the lines meet. Exam tip: distinct parallel lines represent zero solutions.दो अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं होता और इसे असंगत युग्म कहा जाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि प्रतिच्छेद बिंदु तभी होगा जब रेखाएँ एक-दूसरे को काटें। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में अलग-अलग समांतर रेखाएँ दिखें तो हलों की संख्या शून्य लिखें।
Substituting ((4,3)) does not give \(2x+5y=29\), so it is not correct; the true solution is \(\left(\frac{64}{17},\frac{73}{17}\right)\). Check a point in both equations.((4,3)) रखने पर \(2x+5y=23\) नहीं, इसलिए यह गलत होता; सही हल \(\left(\frac{64}{17},\frac{73}{17}\right)\) है। विकल्प जांचते समय दोनों समीकरणों में बिंदु रखना जरूरी है।
Substituting ((4,3)) gives \(2x+5y=31\) but not \(3x-y=7\); the true common point is \(\left(\frac{66}{17},\frac{79}{17}\right)\). Verify in both equations before choosing.((4,3)) रखने पर \(2x+5y=31\) और \(3x-y=9\) नहीं; सही साझा बिंदु \(\left(\frac{66}{17},\frac{79}{17}\right)\) है। सही उत्तर चुनने से पहले दोनों समीकरणों में जांच करें।
Substituting ((-4,1)) makes (x+y=-3) and (2x-y=-9) both true. Substituting the intersection point in both equations is the fastest check.((-4,1)) रखने पर (x+y=-3) और (2x-y=-9) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखना सबसे तेज जांच है।
The second equation is (2) times the first, so both are the same line. The solution is all points on that line, not the whole plane.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। समाधान उसी रेखा के सभी बिंदु हैं, पूरा तल नहीं।
From the given equation, \(5y=-10x+25\), so \(y=-2x+5\). Comparing this with \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) gives the slope \(m=-2\); therefore, option B is correct. Option A misses the negative sign. In an exam, isolate \(y\) first to identify the slope directly.दिए गए समीकरण से \(5y=-10x+25\), अतः \(y=-2x+5\)। अब इसकी तुलना \(y=mx+c\) से करने पर \(m=-2\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा में ढाल ज्ञात करने के लिए पहले \(y\) को अकेला करें।
The second equation is (3) times the first, so every point on (3x+4y=36) is a solution. ((4,6)) lies on this line.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3x+4y=36) पर हर बिंदु समाधान है। ((4,6)) इस रेखा पर है।
(\frac{3}{6}=\frac{-8}{-16}\neq\frac{11}{25}), so the lines are distinct and parallel. Such a pair has no solution.(\frac{3}{6}=\frac{-8}{-16}\neq\frac{11}{25}), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। ऐसे युग्म का कोई समाधान नहीं होता।
The direct answer is option A: the graphical solution is (88,66), where x is the price of the first item and y is the price of the second item. Let the prices be x and y. Their total is 154, so x+y=154. The first item is 22 costlier, so x-y=22. Add the equations: 2x=176, giving x=88. Put this into x+y=154: 88+y=154, so y=66. Thus the two graphs intersect at (88,66). Option A is correct because 88+66=154 and 88-66=22. Option B, (66,88), has the correct total but makes the first item 22 cheaper, not costlier. Option C, (87,67), totals 154 but the difference is 20, not 22. Option D, (90,64), totals 154 but the difference is 26. A graphical solution is the common point of the two lines, so both equations must be checked, not just the total. Memory cue: for “total” and “first is more,” use x+y and x-y, then add them.सीधा उत्तर विकल्प A है: ग्राफीय समाधान (88,66) है। यहाँ x पहली वस्तु की कीमत और y दूसरी वस्तु की कीमत है। दोनों वस्तुओं की कुल कीमत 154 है, इसलिए x+y=154। पहली वस्तु दूसरी से 22 महंगी है, इसलिए x-y=22। दोनों समीकरण जोड़ने पर 2x=176 मिलता है और x=88। अब x+y=154 में रखने पर 88+y=154, अतः y=66। इसलिए दोनों ग्राफों की रेखाएँ (88,66) पर प्रतिच्छेद करती हैं। विकल्प A सही है क्योंकि 88+66=154 और 88-66=22, यानी दोनों शर्तें पूरी होती हैं। विकल्प B में (66,88) है; कुल 154 तो है, पर पहली वस्तु 22 महंगी नहीं बल्कि 22 सस्ती हो जाती है। विकल्प C में कुल 87+67=154 है, लेकिन अंतर 20 है, 22 नहीं। विकल्प D में कुल 90+64=154 है, पर अंतर 26 है। ग्राफीय हल वह साझा बिंदु है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है, इसलिए केवल योग देखना पर्याप्त नहीं है। याद रखने का संकेत: कुल के लिए x+y और “पहली अधिक” के लिए x-y लिखें, फिर समीकरण जोड़ें।
The second equation is (3) times the first, so (3a=18) and (a=6). Include the constant term in ratio checking.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3a=18) और (a=6)। अनुपात जांच में स्थिर पद भी शामिल करें।
The coefficient ratio is (\frac{1}{2}), so coincidence needs (k=90). For (k=88), the lines are distinct and parallel.गुणांक का अनुपात (\frac{1}{2}) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=90) चाहिए। (k=88) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं।
In the graphical method, the intersection point of the two lines represents the common solution of both equations. From \(x+y=5\), we get \(y=5-x\). Substituting this in \(5x-y=19\) gives \(5x-(5-x)=19\), so \(6x=24\) and \(x=4\). Consequently, \(y=1\), hence \((p,q)=(4,1)\) and \(p-q=4-1=3\). Therefore, option C is correct. Exam tip: the coordinates of the intersection of two lines give the simultaneous solution of their equations.ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन-बिंदु ही दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। समीकरण \(x+y=5\) से \(y=5-x\)। इसे \(5x-y=19\) में रखने पर \(5x-(5-x)=19\), अर्थात \(6x=24\), इसलिए \(x=4\) और \(y=1\)। अतः \((p,q)=(4,1)\) तथा \(p-q=4-1=3\), इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा-युक्ति: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन-बिंदु के निर्देशांक दोनों रैखिक समीकरणों का युग्मित हल होते हैं।
For parallel lines, (\frac{9}{27}=\frac{2}{m}), so (m=6). Since (\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}), the lines are not coincident.समांतर के लिए (\frac{9}{27}=\frac{2}{m}), इसलिए (m=6)। क्योंकि (\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}), रेखाएं संपाती नहीं हैं।
Elimination gives \(19x=112\), so \(x=\frac{112}{19}\) and \(y=\frac{41}{19}\). A graphical solution may also have fractional coordinates.उन्मूलन करने पर \(19x=112\), इसलिए \(x=\frac{112}{19}\) और \(y=\frac{41}{19}\)। ग्राफीय हल भिन्न निर्देशांक में भी हो सकता है।
Substituting ((2,8)) gives \(13\cdot2+4\cdot8=58\), not (52). Check every point in the equation before drawing the graph.((2,8)) रखने पर \(13\cdot2+4\cdot8=58\), जो (52) नहीं है। ग्राफ बनाने से पहले हर बिंदु को समीकरण में जांचें।
