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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from the chapter Pair of Linear Equations in Two Variables, students learn to represent each linear equation as a straight line on the Cartesian plane and identify the solution through the point where the lines intersect. The topic explains how intersecting, parallel, and coincident lines correspond to a unique solution, no solution, or infinitely many solutions. Students also practise plotting points, reading coordinates, and checking solutions graphically.
Expert · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. All points on the same line are solutions.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। एक ही रेखा के सभी बिंदु समाधान होते हैं।
An inconsistent pair has no common point, so the lines are distinct and parallel. This is the no-solution case.असंगत युग्म में कोई साझी बिंदु नहीं होता, इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग होती हैं। यह कोई समाधान नहीं वाली स्थिति है।
The coefficient ratios are not equal, so the lines meet at one point. This is the case of a unique solution.गुणांक अनुपात बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। यह अद्वितीय समाधान की स्थिति है।
Putting \(y=6x-17\) in \(x+2y=9\) gives \(13x=43\), so \(x=\frac{43}{13}\) and \(y=\frac{37}{13}\). Fractional coordinates can also be correct graphical solutions.\(y=6x-17\) को \(x+2y=9\) में रखने पर \(13x=43\), इसलिए \(x=\frac{43}{13}\) और \(y=\frac{37}{13}\)। भिन्न निर्देशांक भी सही ग्राफीय समाधान हो सकते हैं।
Substituting all three points makes (5x+4y=40) true. In a graph, three correct points should lie on the same straight line.तीनों बिंदु रखने पर (5x+4y=40) सत्य मिलता है। ग्राफ में तीन सही बिंदु एक ही सीधी रेखा पर आने चाहिए।
(\frac{5}{10}=\frac{-2}{-4}\neq\frac{9}{23}), so the lines are distinct and parallel. An inconsistent pair has no solution.(\frac{5}{10}=\frac{-2}{-4}\neq\frac{9}{23}), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। असंगत युग्म का कोई समाधान नहीं होता।
The coefficient ratio is (\frac{1}{2}); coincidence needs (k=34). For (k=30), the lines will be distinct and parallel.गुणांक अनुपात (\frac{1}{2}) है; संपाती होने के लिए (k=34) चाहिए। (k=30) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग होंगी।
The intersection point is the common solution of both linear equations. From the first equation, \(y=16-2x\). Substituting this into the second equation gives \(x-2(16-2x)=-8\), so \(5x=24\) and \(x=\frac{24}{5}\). Therefore, \(y=16-2\left(\frac{24}{5}\right)=\frac{32}{5}\). Hence, the intersection point is \(\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)\). Exam tip: verify the ordered pair in both original equations; \((4,8)\) satisfies the first equation but not the second.प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखीय समीकरणों का साझा हल होता है। पहले समीकरण से \(y=16-2x\)। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \(x-2(16-2x)=-8\), अर्थात \(5x=24\), इसलिए \(x=\frac{24}{5}\)। तब \(y=16-2\left(\frac{24}{5}\right)=\frac{32}{5}\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \(\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)\) है। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें; \((4,8)\) पहले समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरे को नहीं।
Substituting ((2,-5)) makes (3x+y=1) and (x-y=7) both true. The intersection point must lie on both lines.((2,-5)) रखने पर (3x+y=1) और (x-y=7) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए।
(\frac{5}{1}=\frac{10}{2}\neq\frac{25}{6}), so the lines are distinct and parallel. Check the constant term ratio also.(\frac{5}{1}=\frac{10}{2}\neq\frac{25}{6}), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। अनुपातों में स्थिर पद को भी देखें।
The first equation must be (3) times the second, so (a=12). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=12)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं।
The second equation is (2) times the first, so (m=10). In a coincident line, the coefficient of (y) also changes in the same ratio.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (m=10)। संपाती रेखा में (y) का गुणांक भी उसी अनुपात में बदलता है।
From the second equation, (y=3x-10). Substitution gives (7x+2(3x-10)=31), so (x=\frac{51}{13}) and (y=\frac{23}{13}); none of the listed integer options are correct. Matching calculation with options is necessary.दूसरे से (y=3x-10), रखने पर (7x+2(3x-10)=31), इसलिए (x=\frac{51}{13}) और (y=\frac{23}{13}) नहीं; अतः विकल्पों में दिए सरल मान सही नहीं हैं। सही गणना को विकल्पों से मिलाना जरूरी है।
The direct answer is option A, (35,23), where x is the number of first-type books and y is the number of second-type books. “Total 58” gives x+y=58. “The first type is 12 more” gives x-y=12. Add the equations: 2x=70, so x=35. Substitute into x+y=58: 35+y=58, hence y=23. Thus the graphical intersection is (35,23). Option A works: 35+23=58 and 35-23=12. Option B, (23,35), reverses the types; its difference is -12. Option C, (34,24), has the correct total 58 but difference 10, not 12. Option D, (36,22), also totals 58 but difference 14. A graph would show the two lines x+y=58 and x-y=12 meeting at the answer point. Memory cue: define the larger quantity as x, then use x-y=the stated difference.सीधा उत्तर विकल्प A, (35,23) है, जहाँ x पहले प्रकार की पुस्तकों की संख्या और y दूसरे प्रकार की पुस्तकों की संख्या है। कुल 58 होने से x+y=58। पहले प्रकार की संख्या दूसरे से 12 अधिक है, इसलिए x-y=12। दोनों समीकरण जोड़ें: 2x=70, अतः x=35। अब x+y=58 में रखने पर 35+y=58, इसलिए y=23। इस प्रकार ग्राफ का प्रतिच्छेद (35,23) है। विकल्प A की जाँच: 35+23=58 और 35-23=12, दोनों सही हैं। विकल्प B में प्रकार उलट गए हैं और अंतर -12 हो जाता है। विकल्प C का कुल 58 सही है, पर अंतर 10 है, 12 नहीं। विकल्प D का कुल भी 58 है, पर अंतर 14 है। ग्राफ में x+y=58 और x-y=12 की रेखाएँ इसी बिंदु पर मिलेंगी। याद रखें: अधिक संख्या को x मानें और फिर x-y=दिया गया अंतर लिखें।
Simplifying the equations gives \(x+y=36\) and \(x-y=6\). Adding them yields \(2x=42\), so \(x=21\). Substituting this into \(x+y=36\) gives \(y=15\). Therefore, the graphs intersect at \((21,15)\). Option B incorrectly reverses the values of x and y, so it is not the solution. Exam tip: In the graphical method, the point of intersection represents the common solution of both equations.पहले समीकरणों को सरल करने पर \(x+y=36\) और \(x-y=6\) प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=42\), इसलिए \(x=21\)। तब \(y=36-21=15\)। अतः दोनों ग्राफों का प्रतिच्छेद-बिंदु \((21,15)\) है। विकल्प B में x और y के मान उलट दिए गए हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफीय विधि में प्रतिच्छेद-बिंदु ही दोनों समीकरणों का साझा हल होता है।
For (5x-2y=11) and (x+y=7), (\frac{5}{1}\neq\frac{-2}{1}), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.(5x-2y=11) और (x+y=7) में (\frac{5}{1}\neq\frac{-2}{1}), इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेदी हैं। अलग गुणांक अनुपात अद्वितीय समाधान देता है।
The second equation is (3) times the first, so (3k=12) and (k=4). For infinite solutions, the lines must be coincident.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=12) और (k=4)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए।
From the first equation, (y=27-5x). Substituting gives (2x-3(27-5x)=-6), so (x=5), (y=2). This is the graph intersection.पहले से (y=27-5x), दूसरे में रखने पर (2x-3(27-5x)=-6), इसलिए (x=5), (y=2)। यही ग्राफ का प्रतिच्छेद है।
Intersecting lines have only one common point. That point is the unique solution of both equations.प्रतिच्छेदी रेखाएं केवल एक साझी बिंदु रखती हैं। वही बिंदु दोनों समीकरणों का अद्वितीय समाधान होता है।
Substituting ((3,5)) gives \(3x+y=14\) but \(x-2y=-7\), so it is not correct; the true common point is \(\left(\frac{23}{7},\frac{29}{7}\right)\). Detecting option errors is also important.((3,5)) रखने पर \(3x+y=14\) और \(x-2y=-7\), इसलिए यह नहीं; सही साझा बिंदु \(\left(\frac{23}{7},\frac{29}{7}\right)\) है। विकल्पों की जांच में गलती पकड़ना भी महत्वपूर्ण है।
The second equation is (2) times the first, so both are the same line. Only (1) distinct line will be visible on the graph.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ग्राफ पर केवल (1) अलग रेखा दिखाई देगी।
Substituting ((-2,-3)) makes (x+y=-5) and (2x-y=-1) both true. Substituting the intersection point in both equations is the fastest check.((-2,-3)) रखने पर (x+y=-5) और (2x-y=-1) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखना सबसे तेज जांच है।
The second equation is (2) times the first, so both are the same line. The solution is all points on that line, not the whole plane.दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। समाधान उसी रेखा के सभी बिंदु हैं, पूरा तल नहीं।
Starting with \\(8x-4y=16\\), rearrange to get \\(-4y=16-8x\\), and then divide by \\(-4\\): \\(y=2x-4\\). Comparing this with \\(y=mx+c\\), the coefficient of \\(x\\) is the slope, so \\(m=2\\). Therefore, option A is correct. Option B results from a sign error while isolating \\(y\\). Exam tip: always express the equation in \\(y=mx+c\\) form before reading the slope.दिए गए समीकरण से \\(8x-4y=16\\) मिलता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर \\(-4y=16-8x\\), अतः \\(y=2x-4\\)। अब इसे \\(y=mx+c\\) से मिलाने पर \\(m=2\\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में ऋण चिह्न का भ्रम है; \\(y\\) के गुणांक को सही ढंग से अलग करने पर ढाल धनात्मक आती है। परीक्षा में ढाल पहचानने से पहले समीकरण को अनिवार्य रूप से \\(y=mx+c\\) के रूप में लिखें।
The second equation is (3) times the first, so every point on (2x+3y=18) is a solution. ((3,4)) lies on this line.दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (2x+3y=18) पर हर बिंदु समाधान है। ((3,4)) इस रेखा पर है।
