What is the value of d for infinitely many solutions of 4x + dy = 7 and 12x + 15y = 21?4x + dy = 7 और 12x + 15y = 21 के अनंत हलों के लिए d का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: d = 5d = 5
The condition for infinitely many solutions is that both equations represent the same line. Therefore, corresponding coefficients and constants must have equal ratios. Comparing the equations gives 4/12 = d/15 = 7/21. The first ratio simplifies to 1/3, and the constant ratio also simplifies to 1/3. Hence d/15 = 1/3, so d = 5. Substitution verifies the result: 4/12 = 5/15 = 7/21 = 1/3. Thus the first equation is exactly one-third of the second equation, and every point on either line satisfies both equations. Option C is correct. Values 3, 4, and 6 fail the proportionality condition and cannot produce infinitely many common solutions.अनंत हलों के लिए दोनों समीकरणों को एक ही रेखा दर्शानी चाहिए। इसलिए उनके संगत x-गुणांकों, y-गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात समान होने चाहिए। यहाँ 4/12 = d/15 = 7/21 है। 4/12 को सरल करने पर 1/3 मिलता है और 7/21 भी 1/3 के बराबर है। इसलिए d/15 = 1/3 होगा। दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर d = 5 प्राप्त होता है। जाँच करने पर 4/12 = 5/15 = 7/21 = 1/3 मिलता है। इसका अर्थ है कि पहला समीकरण दूसरे समीकरण का एक-तिहाई है, इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत समान हल मिलते हैं। अतः विकल्प C सही है। अन्य विकल्प समानुपात की शर्त पूरी नहीं करते।
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