If (a_1b_2-a_2b_1\neq0), what is the correct statement about the pair?यदि (a_1b_2-a_2b_1\neq0) है, तो युग्म के बारे में सही कथन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The pair has a unique solutionयुग्म का अद्वितीय हल है
For equations written as \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), the expression \(a_1b_2-a_2b_1\) is the determinant of the coefficient matrix. If it is non-zero, the coefficients are not proportional. Consequently, the two lines have different slopes and cannot be parallel or identical; they must intersect at one point.
The given condition says this determinant is not zero. Therefore the system is solvable in exactly one way: there is one ordered pair \((x,y)\) satisfying both equations. This is called a unique solution, so choice C is correct. A zero determinant would require further comparison of the constant terms, because it could describe either infinitely many solutions or no solution. A non-zero determinant avoids both of those cases.यदि समीकरण \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के रूप में हों, तो \(a_1b_2-a_2b_1\) गुणांकों के सारणिक को दर्शाता है। इसके अशून्य होने का अर्थ है कि दोनों रेखाओं के गुणांक समान अनुपात में नहीं हैं। इसलिए रेखाओं की ढाल अलग होगी और वे समानांतर या संपाती नहीं हो सकतीं; वे एक बिंदु पर अवश्य मिलेंगी।
दिया गया सारणिक अशून्य है, इसलिए दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला केवल एक क्रमित युग्म \((x,y)\) होगा। इसे अद्वितीय हल कहते हैं, इसलिए विकल्प C सही है। यदि सारणिक शून्य होता, तो स्थिर पदों की तुलना करनी पड़ती, क्योंकि तब अनंत हल या कोई हल नहीं, दोनों स्थितियाँ संभव होतीं।
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