For infinitely many solutions of (u + 3)x + 8y = 16 and 10x + 20y = 40, what is u?(u + 3)x + 8y = 16 और 10x + 20y = 40 के अनंत हलों के लिए u का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: u = 1u = 1
Infinitely many solutions occur when both equations represent the same straight line. Thus, the ratios of corresponding coefficients and constants must be equal. For the second equation and the constants, 8/20 = 2/5 and 16/40 = 2/5. Therefore the x-coefficient ratio must also satisfy (u + 3)/10 = 2/5. Multiplying by 10 gives u + 3 = 4, so u = 1. A direct check confirms that the first equation becomes 4x + 8y = 16, which is obtained by multiplying 10x + 20y = 40 by 2/5. Hence both equations are coincident and have infinitely many common points. Option A is correct. The other listed values fail the proportionality condition.अनंत हल तभी प्राप्त होते हैं जब दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को प्रदर्शित करें। इसके लिए x-गुणांक, y-गुणांक और स्थिर पदों के संगत अनुपात समान होने चाहिए। यहाँ y-गुणांकों का अनुपात 8/20 = 2/5 है तथा स्थिर पदों का अनुपात 16/40 = 2/5 है। इसलिए x-गुणांकों के लिए (u + 3)/10 = 2/5 होना आवश्यक है। दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर u + 3 = 4 मिलता है और इसलिए u = 1। जाँच करने पर पहला समीकरण 4x + 8y = 16 बनता है, जो दूसरे समीकरण का 2/5 गुना है। अतः दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत समान हल मिलते हैं। इसलिए विकल्प A सही है; अन्य मान समानुपात की शर्त पूरी नहीं करते।
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