What is the number of solutions of 12x - 7y = 5 and 18x - 11y = 8?12x - 7y = 5 और 18x - 11y = 8 के युग्म में हलों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Unique solutionअद्वितीय हल
The governing concept is the solvability condition for two linear equations. For a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, a unique solution exists when a₁/a₂ is different from b₁/b₂. Rewriting the equations gives 12x − 7y − 5 = 0 and 18x − 11y − 8 = 0. Their coefficient ratios are 12/18 = 2/3 and (−7)/(−11) = 7/11. Since 2/3 is not equal to 7/11, the corresponding lines have different slopes and must intersect at exactly one point. Therefore, the pair has a unique solution, so option C is correct. No solution would require parallel distinct lines, while infinitely many solutions would require coincident lines.इस प्रश्न में दो रैखिक समीकरणों की संगतता की शर्त लागू होती है। सामान्य रूप a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में अद्वितीय हल तब मिलता है जब a₁/a₂ और b₁/b₂ बराबर न हों। दिए गए समीकरणों के लिए x-गुणांकों का अनुपात 12/18 = 2/3 है, जबकि y-गुणांकों का अनुपात (−7)/(−11) = 7/11 है। ये दोनों अनुपात समान नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल अलग-अलग होंगी और वे केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। अतः युग्म का एक ही अद्वितीय हल है और विकल्प C सही है। कोई हल न होने के लिए रेखाएँ समानांतर तथा अलग होनी चाहिए, जबकि अनंत हलों के लिए दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर संपाती होनी चाहिए।
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