If D = 0 and at least one auxiliary determinant is non-zero, what is the solution status of the pair?यदि D = 0 और कम से कम एक सहायक सारणिक शून्य नहीं है, तो युग्म की हल-स्थिति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: No solutionकोई हल नहीं
For a pair of linear equations, let D be the determinant of the coefficients of x and y, while Dx and Dy are the auxiliary determinants. Cramer's rule gives a unique solution only when D is non-zero. If D = 0, the coefficient rows are dependent, so the represented lines are either coincident or parallel. When at least one auxiliary determinant is non-zero, the corresponding ratios are not all equal; hence the equations are inconsistent. Geometrically, the lines are distinct and parallel. They have no common point, so the pair has no solution. Therefore option C is correct, whereas infinitely many solutions require D = Dx = Dy = 0.दो रैखिक समीकरणों में x और y के गुणांकों से बने सारणिक को D तथा सहायक सारणिकों को Dx और Dy मानते हैं। क्रैमर के नियम के अनुसार अद्वितीय हल के लिए D शून्य नहीं होना चाहिए। जब D = 0 होता है, तब गुणांक निर्भर होते हैं और दोनों रेखाएँ या तो संपाती होती हैं या अलग-अलग समांतर होती हैं। यदि कम से कम एक सहायक सारणिक शून्य नहीं है, तो सभी अनुपात समान नहीं हो सकते। इसलिए रेखाएँ संपाती नहीं, बल्कि अलग-अलग समांतर होती हैं। ऐसी रेखाओं का कोई साझा बिंदु नहीं होता और युग्म का कोई हल नहीं मिलता। अतः विकल्प C सही है। अनंत हल के लिए D, Dx और Dy तीनों शून्य होने चाहिए।
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