What is the value of (r) for infinitely many solutions of (4x+(r-2)y=14) and (10x+15y=35)?युग्म (4x+(r-2)y=14) और (10x+15y=35) के अनंत हलों के लिए (r) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (r=8)(r=8)
The direct answer is option B, r=8. For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of corresponding coefficients and constants must all be equal: \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\). Here, \(4/10=2/5\) and \(14/35=2/5\). Therefore \((r-2)/15=2/5\), so \(5(r-2)=30\), \(r-2=6\), and \(r=8\). Option A, r=6, gives a coefficient ratio \(4/10\) but \(4/15\) for the y-coefficients, so it fails. Option B makes all three ratios equal and is correct. Option C, r=10, gives \(8/15\), not \(2/5\). Option D, r=12, gives \(10/15\), also incorrect. The equations then represent the same line. Memory cue: infinitely many solutions means coincident lines and all three ratios equal.सीधा उत्तर विकल्प B, \(r=8\) है। दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब संगत गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान हों: \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\)। यहाँ \(4/10=2/5\) और \(14/35=2/5\)। इसलिए \((r-2)/15=2/5\), अर्थात \(5(r-2)=30\), फिर \(r-2=6\) और \(r=8\)। विकल्प A, \(r=6\), लेने पर y-गुणांक का अनुपात \(4/15\) होगा, जो \(2/5\) नहीं है। विकल्प B में तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए वही सही है। विकल्प C, \(r=10\), से अनुपात \(8/15\) मिलता है और विकल्प D, \(r=12\), से \(10/15\); दोनों गलत हैं। तब दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। याद रखें: अनंत हल का संकेत समान अनुपात और एक ही रेखा है।
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