Which condition is correct for the equations (13x+8y=49) and (26x+16y=r) to be inconsistent?समीकरणों (13x+8y=49) और (26x+16y=r) के असंगत होने के लिए कौन-सी शर्त सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (r\ne98)(r\ne98)
The direct answer is option B: r≠98. Compare the equations 13x+8y=49 and 26x+16y=r. The coefficients of x and y in the second equation are twice those in the first: 26/13=2 and 16/8=2. For the two lines to be the same, the constant must also be doubled, so r must equal 2×49=98. If r=98, the equations are coincident and have infinitely many solutions, not inconsistent. Therefore inconsistency requires r≠98: the coefficients remain proportional but the constants do not, producing distinct parallel lines with no common solution. Option A describes the coincident case. Option C and option D are merely particular values of r; they are inconsistent only because neither equals 98, but they do not state the complete condition. The exact answer is the inequality r≠98.सीधा उत्तर विकल्प B है: r≠98। समीकरण 13x+8y=49 और 26x+16y=r को देखें। दूसरे समीकरण में x का गुणांक पहले का 2 गुना है, क्योंकि 26/13=2; y का गुणांक भी 2 गुना है, क्योंकि 16/8=2। दोनों रेखाएं एक ही होने के लिए स्थिर पद भी 2 गुना होना चाहिए, इसलिए r=2×49=98 होना चाहिए। यदि r=98 हो, तो दोनों समीकरण संपाती होंगे और अनंत हल होंगे, असंगत नहीं। अतः असंगत होने के लिए r≠98 आवश्यक है; तब गुणांक समान अनुपात में होंगे, लेकिन स्थिर पद नहीं, इसलिए रेखाएं अलग समानांतर होंगी और कोई साझा हल नहीं होगा। विकल्प A संपाती स्थिति बताता है। विकल्प C और D केवल कुछ विशेष मान हैं; वे सही उदाहरण हो सकते हैं, पर पूरी शर्त नहीं बताते। पूर्ण उत्तर r≠98 है।
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