What type of pair is formed by the equations (30x+45y=210) and (2x+3y=14)?समीकरणों (30x+45y=210) और (2x+3y=14) का युग्म किस प्रकार का है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Consistent and dependentसंगत और आश्रित
When one equation in a pair is a non-zero multiple of the other, both equations describe the same line. The pair is then called consistent and dependent. It has infinitely many solutions, because every point on that common line satisfies both equations. A quick test is to multiply the coefficients and the constant term of one equation by the same number and check whether the other equation results exactly.
Multiplying \(2x+3y=14\) by \(15\) gives \(30x+45y=210\), which is precisely the first equation. Thus the two equations are not different lines; they coincide completely. Therefore the pair is consistent and dependent, and choice A is correct. It would be incorrect to call it independent, since independent lines intersect at only one point, while these equations have infinitely many common solutions.जब किसी युग्म में एक समीकरण दूसरे समीकरण का कोई अशून्य गुणज होता है, तब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। ऐसे युग्म को संगत और आश्रित कहा जाता है। इसके अनंत हल होते हैं, क्योंकि समान रेखा के प्रत्येक बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। जाँचने के लिए एक समीकरण के सभी गुणांकों और स्थिर पद को एक ही संख्या से गुणा करना चाहिए।
दूसरे समीकरण \(2x+3y=14\) को \(15\) से गुणा करने पर \(30x+45y=210\) मिलता है, जो पहले समीकरण के बिल्कुल समान है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत समान हल हैं। अतः युग्म संगत और आश्रित है तथा विकल्प A सही है। इसे स्वतंत्र कहना गलत होगा, क्योंकि स्वतंत्र रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं।
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