If (a_1/a_2 \ne b_1/b_2), what will be the correct nature of the pair?यदि (a_1/a_2 \ne b_1/b_2), तो युग्म की सही प्रकृति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Consistent and independentसंगत और स्वतंत्र
The direct answer is option C: consistent and independent. For a pair a1x+b1y=c1 and a2x+b2y=c2, if a1/a2 is not equal to b1/b2, the two lines have different slopes. Different slopes force the lines to intersect at exactly one point. A common point means the pair is consistent; exactly one common point means it is independent. Option A, inconsistent, applies when the lines are distinct and parallel, typically when a1/a2=b1/b2 but c1/c2 differs. Option B, consistent and dependent, applies to coincident lines with infinitely many solutions, when all three ratios are equal. Option D, no solution, is another description of inconsistency and contradicts the given unequal first two ratios. Memory cue: unequal first two ratios means one intersection, so choose consistent independent.सीधा उत्तर विकल्प C है: संगत और स्वतंत्र। युग्म a1x+b1y=c1 तथा a2x+b2y=c2 में यदि a1/a2 और b1/b2 बराबर नहीं हैं, तो दोनों रेखाओं की ढाल अलग होती है। अलग ढाल वाली दो रेखाएं ठीक एक बिंदु पर कटती हैं। एक सामान्य बिंदु होने से युग्म संगत और केवल एक सामान्य हल होने से स्वतंत्र कहलाता है। विकल्प A, असंगत, अलग समानांतर रेखाओं के लिए होता है; वहां पहले दो अनुपात सामान्यतः बराबर होते हैं, पर स्थिर पदों का अनुपात अलग होता है। विकल्प B, संगत और आश्रित, संपाती रेखाओं तथा अनंत हलों के लिए होता है, जब तीनों अनुपात बराबर हों। विकल्प D, कोई हल नहीं, असंगत का ही अर्थ है और दिए गए अनुपात से मेल नहीं खाता। याद रखें: पहले दो अनुपात असमान हों तो एक प्रतिच्छेद, इसलिए संगत स्वतंत्र।
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