What type of pair is formed by 16x+24y=88 and 2x+3y=11?समीकरणों 16x+24y=88 और 2x+3y=11 का युग्म किस प्रकार का है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Consistent and dependentसंगत और आश्रित
Use the consistency criterion for two linear equations. The second equation is 2x+3y=11. Multiplying every term by 8 gives 16x+24y=88, which is precisely the first equation. Thus the coefficient ratios and constant ratio are equal: 16/2=24/3=88/11=8. Geometrically, both equations represent the same straight line, so they have infinitely many common points. Algebraically, there is only one independent equation for the two variables, leaving one variable free; this is why the pair is dependent. Because at least one common solution exists—in fact infinitely many—the pair is consistent as well. Therefore option A is the only correct answer. Inconsistent would mean no common solution, and independent would mean two non-proportional lines meeting at one point. Neither description fits these proportional equations.यहाँ दो रैखिक समीकरणों की संगतता जाँचने का मानदंड प्रयोग करना है। दूसरे समीकरण 2x+3y=11 के प्रत्येक पद को 8 से गुणा करने पर 16x+24y=88 मिलता है, जो पहला समीकरण है। इसलिए 16/2=24/3=88/11=8, अर्थात दोनों समीकरणों के गुणांक और स्थिरांक समान अनुपात में हैं। ज्यामितीय रूप से दोनों एक ही सीधी रेखा को दर्शाते हैं, इसलिए उनके अनंत उभयनिष्ठ बिंदु हैं। बीजीय रूप से भी दो चरों के लिए केवल एक स्वतंत्र समीकरण बचता है और एक चर को मनमाना चुना जा सकता है; इसी कारण युग्म आश्रित है। चूँकि साझा हल मौजूद हैं, बल्कि अनंत हैं, इसलिए युग्म संगत भी है। अतः विकल्प A सही है। असंगत युग्म में कोई साझा हल नहीं होता, जबकि स्वतंत्र युग्म में दो अलग रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं; यहाँ दोनों स्थितियाँ लागू नहीं होतीं।
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