For the prices of two items, the equations 2x + 7y = 160 and 5x + 16y = 370 are formed. What is the solution status?दो वस्तुओं की कीमतों के लिए 2x + 7y = 160 और 5x + 16y = 370 समीकरण बने हैं। इस युग्म की हल-स्थिति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: One unique solutionएक अद्वितीय हल
The solution status of two linear equations can be determined by comparing a₁/a₂ and b₁/b₂. For 2x + 7y = 160 and 5x + 16y = 370, the first coefficient ratio is 2/5, while the second is 7/16. These are unequal because 2 × 16 = 32 whereas 7 × 5 = 35. Thus the two equations represent lines with different slopes. Lines with different slopes intersect at exactly one point, so the pair is consistent and independent and has one unique solution. The constant terms are not needed once the first two ratios are unequal. “No solution” would require equal coefficient ratios but a different constant ratio; infinitely many solutions would require all three ratios to be equal. Therefore option A is correct.दो रैखिक समीकरणों की हल-स्थिति जानने के लिए a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना की जाती है। यहाँ 2x + 7y = 160 तथा 5x + 16y = 370 में 2/5 और 7/16 की तुलना करें। ये बराबर नहीं हैं, क्योंकि 2 × 16 = 32, जबकि 7 × 5 = 35। इसलिए दोनों समीकरण अलग-अलग ढाल वाली रेखाओं को दर्शाते हैं। अलग ढाल वाली दो रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं, अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है तथा इसका एक अद्वितीय हल होगा। कोई हल न होने के लिए दोनों गुणांक-अनुपात बराबर और अचर-अनुपात अलग होना चाहिए। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। इसलिए विकल्प A सही है।
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