If 8x − 4y = 24 and 2x − y = t are inconsistent, what is the correct condition for t?यदि 8x − 4y = 24 और 2x − y = t असंगत हों, तो t के लिए सही शर्त क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: t ≠ 6t ≠ 6
The standard condition for an inconsistent pair is a₁/a₂ = b₁/b₂ but c₁/c₂ unequal to that common ratio. For 8x − 4y = 24 and 2x − y = t, the x-coefficient ratio is 8/2 = 4 and the y-coefficient ratio is (−4)/(−1) = 4. Thus the two lines are parallel or coincident. Coincidence occurs when 24/t = 4, which gives t = 6. In that case, the second equation is one-fourth of the first and there are infinitely many solutions. To obtain distinct parallel lines and therefore inconsistency, t must not be 6. Hence option B is correct; the other listed values do not state the required exclusion condition.असंगत रैखिक समीकरणों के लिए x और y के गुणांकों के अनुपात बराबर, परंतु अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। दिए गए समीकरणों में 8/2 = 4 और (−4)/(−1) = 4 है। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल समान है। यदि अचर पदों का अनुपात भी 4 हो, तो 24/t = 4 से t = 6 प्राप्त होगा। तब दूसरा समीकरण पहले समीकरण का एक-चौथाई होगा और दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाएँगे; ऐसे में अनंत हल मिलते हैं। इसलिए असंगत होने के लिए t = 6 नहीं होना चाहिए, अर्थात t ≠ 6। इसीलिए विकल्प B सही है। विकल्प A वह मान है जो संपाती रेखाओं की स्थिति देता है, जबकि C और D आवश्यक सामान्य शर्त नहीं हैं।
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