If the two linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\) satisfy \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), what will be the nature of their lines and the number of solutions?यदि दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) तथा \(a_2x+b_2y+c_2=0\) के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो उनकी रेखाएँ कैसी होंगी और हलों की संख्या क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Coincident lines; infinitely many solutionsसंपाती रेखाएँ; अनंत हल
When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), one equation is a multiple of the other. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. For distinct parallel lines, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so option C is not correct. Exam tip: If all three ratios are equal, identify coincident lines with infinitely many solutions.जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है, तब एक समीकरण दूसरे समीकरण का गुणज होता है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत हल होते हैं। समांतर भिन्न रेखाओं के लिए केवल \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर हों, तो तुरंत ‘संपाती रेखाएँ—अनंत हल’ याद करें।
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