If 6x − 2y = 18 and 3x − y = t are inconsistent, what is the correct condition for t?यदि 6x − 2y = 18 और 3x − y = t असंगत हों, तो t के लिए सही शर्त क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: t ≠ 9t ≠ 9
For two linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the pair is inconsistent when a₁/a₂ = b₁/b₂ but c₁/c₂ is different. Here, compare 6x − 2y = 18 with 3x − y = t. The x-coefficient ratio is 6/3 = 2, and the y-coefficient ratio is (−2)/(−1) = 2. Therefore, the equations have the same direction. For them to be inconsistent, they must represent distinct parallel lines, so 18/t must not equal 2. Equality would give t = 9, making the second equation exactly half of the first and producing infinitely many solutions. Hence t ≠ 9, so option B is correct.दो रैखिक समीकरणों के असंगत होने की शर्त है कि x और y के गुणांकों के अनुपात समान हों, लेकिन अचर पदों का अनुपात उनसे अलग हो। यहाँ 6x − 2y = 18 और 3x − y = t के लिए 6/3 = 2 तथा (−2)/(−1) = 2 है। इसलिए दोनों रेखाओं की दिशा समान है। अब यदि 18/t भी 2 के बराबर हो, तो t = 9 मिलेगा और दूसरा समीकरण पहले का आधा बन जाएगा। ऐसी स्थिति में दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाएँगे और अनंत हल होंगे, असंगति नहीं। अतः असंगति के लिए 18/t ≠ 2, अर्थात t ≠ 9 आवश्यक है। इसलिए विकल्प B सही है। अन्य विकल्प सामान्य शर्त व्यक्त नहीं करते।
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