What is the value of a for the pair of equations 3x + ay = 12 and 6x + 8y = 24 to have infinitely many solutions?समीकरणों 3x + ay = 12 और 6x + 8y = 24 के अनंत हल होने के लिए a का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 44
A pair of linear equations has infinitely many solutions when the corresponding coefficient ratios are equal, namely a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂. For 3x + ay = 12 and 6x + 8y = 24, the x-coefficient ratio is 3/6 = 1/2 and the constant ratio is 12/24 = 1/2. Hence the y-coefficient ratio must also equal 1/2: a/8 = 1/2. Multiplying both sides by 8 gives a = 4. Substituting this value makes the first equation 3x + 4y = 12; multiplying it by 2 gives 6x + 8y = 24, the second equation. Thus the lines coincide and infinitely many points satisfy both equations. Option B is correct.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल तभी होते हैं जब संगत गुणांकों और स्थिर पदों के सभी अनुपात बराबर हों: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂। यहाँ x के गुणांकों का अनुपात 3/6 = 1/2 और स्थिर पदों का अनुपात 12/24 = 1/2 है। इसलिए y के गुणांकों का अनुपात भी 1/2 होना चाहिए। अतः a/8 = 1/2। दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर a = 4 मिलता है। इस मान पर पहला समीकरण 3x + 4y = 12 होगा और उसे 2 से गुणा करने पर 6x + 8y = 24 प्राप्त होगा, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही रेखा हैं और अनंत हल मिलते हैं। अतः विकल्प B सही है।
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