If (a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2) then what will appear in the graph?यदि (a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2) हो तो ग्राफ में क्या दिखाई देगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Same lineएक ही रेखा
The direct answer is option C: the same line, or coincident lines. Write the equations in the standard form \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\). If \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), every corresponding coefficient is in the same proportion. One equation is therefore just a nonzero multiple of the other. Multiplying an equation does not change its set of solutions, so both equations represent exactly the same line. Every point on that line satisfies both equations; hence there are infinitely many common solutions. Option A, two intersecting lines, occurs when the first two coefficient ratios are unequal. Option B, distinct parallel lines, occurs when the first two ratios are equal but the constant ratio is different. Option D, no line, is not the result of a normal pair of linear equations with valid coefficients; each equation represents a line. Thus C is correct. Memory cue: all three ratios equal means same line and infinitely many solutions.सीधा उत्तर विकल्प C है: एक ही रेखा, अर्थात संपाती रेखाएँ। समीकरणों को सामान्य रूप \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में देखें। यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांक एक ही अनुपात में हैं। इसका अर्थ है कि एक समीकरण दूसरे का किसी शून्येतर संख्या से गुणा किया हुआ रूप है। किसी समीकरण को ऐसी संख्या से गुणा करने पर उसके हल नहीं बदलते, इसलिए दोनों समीकरण ठीक एक ही रेखा दर्शाते हैं। उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है; इसलिए अनंत सामान्य हल होते हैं। विकल्प A, कटती रेखाएँ, तब होता है जब पहले दो अनुपात अलग हों। विकल्प B, अलग समानांतर रेखाएँ, तब होता है जब पहले दो अनुपात बराबर पर स्थिर पद का अनुपात अलग हो। विकल्प D, कोई रेखा नहीं, सामान्य वैध रैखिक समीकरणों के लिए उचित निष्कर्ष नहीं है। याद रखें: तीनों अनुपात बराबर—एक ही रेखा और अनंत हल।
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