Choose the correct conclusion for (x+5y=12) and (3x+14y=31).समीकरण (x+5y=12) और (3x+14y=31) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: One unique solutionएक अद्वितीय हल
The direct answer is option D: one unique solution. Compare the coefficients of the equations \(x+5y=12\) and \(3x+14y=31\). We have \(a_1/a_2=1/3\) and \(b_1/b_2=5/14\). These are unequal, so the lines have different slopes and intersect at exactly one point. Option A, no solution, would require distinct parallel lines, represented by equal coefficient ratios but a different constant ratio. Option B, infinitely many solutions, and option C, coincident lines, describe the same situation: both equations represent one line, so all three ratios would be equal. They are not equal here. For an additional check, multiply the first equation by 3: \(3x+15y=36\). Comparing it with \(3x+14y=31\) shows the equations are not identical; subtracting gives \(y=5\), then \(x=-13\), confirming one solution. Thus D is correct.सीधा उत्तर विकल्प D है: एक अद्वितीय हल। समीकरण \(x+5y=12\) और \(3x+14y=31\) के गुणांकों की तुलना करें। \(a_1/a_2=1/3\) और \(b_1/b_2=5/14\) हैं। ये बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाओं की ढाल अलग है और वे ठीक एक बिंदु पर कटती हैं। विकल्प A, कोई हल नहीं, अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति बताता है; उसके लिए गुणांक अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। विकल्प B, अनंत हल, तथा विकल्प C, संपाती रेखाएँ, एक ही स्थिति बताते हैं: दोनों समीकरण एक ही रेखा होते और तीनों अनुपात बराबर होते। यहाँ ऐसा नहीं है। जाँच के लिए पहले समीकरण को 3 से गुणा करें: \(3x+15y=36\)। इसे दूसरे \(3x+14y=31\) से घटाने पर \(y=5\), और पहले में रखने पर \(x=-13\) मिलता है। अतः एक ही हल है और D सही है।
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