What is the number of solutions for (3x+2y=7) and (6x+4y=14)?समीकरण (3x+2y=7) और (6x+4y=14) के लिए हलों की संख्या क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely many solutionsअनंत हल
The direct answer is option C: infinitely many solutions. First compare the two equations. Multiplying every term of 3x+2y=7 by 2 gives 6x+4y=14, which is exactly the second equation. Thus both equations describe the same straight line, not two different lines. Every point satisfying the first equation also satisfies the second, so there are infinitely many common points. Option A, no solution, is wrong because the lines are not parallel distinct lines. Option B, one unique solution, would occur when two different lines intersect at one point. Option C is correct because coincident lines overlap completely. Option D, exactly two solutions, is impossible for two linear equations representing lines: two distinct lines meet once, identical lines meet infinitely often, and parallel lines never meet. Memory cue: if one complete equation is a non-zero multiple of the other, the lines coincide and solutions are infinite.सीधा उत्तर विकल्प C है: अनंत हल। पहले समीकरण के हर पद को 2 से गुणा करें: 2(3x+2y=7) से 6x+4y=14 मिलता है, जो बिल्कुल दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरण अलग-अलग रेखाएं नहीं, बल्कि उसी एक रेखा को दर्शाते हैं। पहली रेखा पर स्थित हर बिंदु दूसरे समीकरण को भी संतुष्ट करेगा; इस कारण साझा बिंदुओं की संख्या अनंत होगी। विकल्प A, कोई हल नहीं, गलत है क्योंकि रेखाएं अलग समानांतर रेखाएं नहीं हैं। विकल्प B, एक अद्वितीय हल, तब होता जब दो अलग रेखाएं एक बिंदु पर काटतीं। विकल्प C सही है क्योंकि संपाती रेखाएं पूरी तरह एक-दूसरे पर होती हैं। विकल्प D, ठीक दो हल, दो रैखिक रेखाओं के लिए संभव नहीं: अलग रेखाएं एक बार मिलती हैं, समान रेखाएं अनंत बार, और समानांतर रेखाएं कभी नहीं। याद रखें: एक पूरा समीकरण दूसरे का गैर-शून्य गुणज हो तो अनंत हल होते हैं।
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