If two lines have different slopes then how many solutions will the pair have?यदि दो रेखाओं की ढाल अलग-अलग हो तो युग्म में कितने हल होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: One unique solutionएक अद्वितीय हल
The slope of a nonvertical line describes how much its y-value changes when its x-value changes. Lines with different slopes have different directions, so they cannot remain parallel or overlap completely. In a plane, two such lines meet at exactly one point. That point gives one ordered pair satisfying both linear equations. Therefore, a pair represented by lines with unequal slopes is called consistent and independent and has one unique solution.
To see the algebraic meaning, different slopes imply that the equations are not scalar multiples with equal coefficient ratios. The two lines therefore cannot describe the same line, and they cannot be distinct parallel lines, because parallel lines have equal slopes. They must intersect once. Hence the number of common solutions is one, which is option C. Infinite solutions correspond to coincident lines, while no solution corresponds to distinct parallel lines.किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल बताती है कि x में परिवर्तन होने पर y कितना बदलता है। अलग-अलग ढाल वाली रेखाओं की दिशाएं अलग होती हैं। इसलिए वे न तो पूरी तरह एक-दूसरे पर स्थित हो सकती हैं और न ही समानांतर रह सकती हैं। समतल में ऐसी दो रेखाएं ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं। वह बिंदु दोनों रैखिक समीकरणों को संतुष्ट करने वाला एक क्रमित युग्म देता है।
बीजगणितीय रूप से अलग ढाल का अर्थ है कि गुणांकों के संगत अनुपात समान नहीं हैं। अतः समीकरण एक ही रेखा को नहीं दर्शाते और समान ढाल न होने के कारण अलग समानांतर रेखाएं भी नहीं हो सकते। इसलिए उनका ठीक एक साझा हल होगा। इस कारण विकल्प C, अर्थात एक अद्वितीय हल, सही है। संपाती रेखाओं के अनंत हल और अलग समानांतर रेखाओं का कोई हल नहीं होता है।
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