What is the solution status of 3x + 5y = 14 and 6x + 11y = 30?समीकरण 3x + 5y = 14 और 6x + 11y = 30 की हल-स्थिति क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: One unique solutionOne unique solution
The governing concept is the ratio test for a pair of linear equations, a x + b y + c = 0 and a₁x + b₁y + c₁ = 0. Here a/a₁ = 3/6 = 1/2, but b/b₁ = 5/11, and these ratios are unequal. Therefore the two lines have different slopes and intersect at exactly one point. A pair with one intersection has one unique solution, so option A is correct. Infinitely many solutions would require all three corresponding ratios to be equal, while no solution would require a/a₁ = b/b₁ but not c/c₁. Since the coefficient ratios already differ, neither of those cases applies.यहाँ मुख्य अवधारणा दो रैखिक समीकरणों की संगतता जाँचने वाला अनुपात-परीक्षण है। समीकरणों के x-गुणांकों का अनुपात 3/6 = 1/2 है, जबकि y-गुणांकों का अनुपात 5/11 है। ये दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाओं की ढाल अलग होगी और वे ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। एक बिंदु पर मिलने वाली रेखाएँ एक अद्वितीय हल देती हैं, अतः विकल्प A सही है। अनंत हलों के लिए तीनों संगत अनुपात बराबर होने चाहिए। कोई हल न होने की स्थिति में पहले दो अनुपात बराबर, पर स्थिर पद का अनुपात अलग होता है। यहाँ पहले ही दो अनुपात असमान हैं, इसलिए वे दोनों स्थितियाँ लागू नहीं होतीं।
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