How many solutions will (7x+2y=3) and (5x+4y=9) have?समीकरण (7x+2y=3) और (5x+4y=9) में हलों की संख्या क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: One unique solutionएक अद्वितीय हल
The direct answer is option D: one unique solution. For two linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), different ratios \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\) mean the lines have different slopes and meet once. Here \(a_1/a_2=7/5\), while \(b_1/b_2=2/4=1/2\). These are unequal, so the lines are neither parallel nor the same line. They intersect at exactly one point. Option A, infinitely many solutions, would require all three corresponding ratios to be equal. Option B, no solution, would describe distinct parallel lines, usually when the coefficient ratios are equal but the constant ratio differs. Option C, exactly two solutions, is impossible for two distinct linear equations in two variables: two lines can meet once, never, or coincide, but not at exactly two points. Option D is therefore correct. Exam cue: unequal coefficient ratios usually signal a unique solution.सीधा उत्तर विकल्प D है: एक अद्वितीय हल। दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) में यदि \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) बराबर न हों, तो रेखाओं की ढाल अलग होती है और वे एक बिंदु पर मिलती हैं। यहाँ \(a_1/a_2=7/5\), जबकि \(b_1/b_2=2/4=1/2\)। दोनों अनुपात अलग हैं, इसलिए रेखाएँ न तो समानांतर हैं और न ही एक ही रेखा हैं। वे ठीक एक बिंदु पर काटेंगी। विकल्प A, अनंत हल, के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। विकल्प B, कोई हल नहीं, अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति है; इसमें सामान्यतः पहले दो अनुपात बराबर और स्थिर पद का अनुपात अलग होता है। विकल्प C, ठीक दो हल, दो रेखाओं के लिए संभव नहीं है; रेखाएँ एक बार कटती हैं, कभी नहीं कटतीं, या पूरी तरह मिलती हैं। इसलिए D सही है। परीक्षा संकेत: अलग गुणांक अनुपात प्रायः अद्वितीय हल बताते हैं।
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