Which of the following conditions gives no solution?नीचे में से कौन-सी स्थिति कोई हल नहीं देती?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (a_1/a_2=b_1/b_2 \ne c_1/c_2)(a_1/a_2=b_1/b_2 \ne c_1/c_2)
The direct answer is option A. Write the pair as a_1x+b_1y+c_1=0 and a_2x+b_2y+c_2=0. No solution occurs when the two lines are distinct and parallel. The condition is a_1/a_2=b_1/b_2 but c_1/c_2 is different. Equal first two ratios mean the x- and y-coefficients have the same proportionality, so the slopes are equal. A different constant ratio means the lines are not the same line; therefore they never meet. Option A is exactly this condition. Option B, a_1/a_2≠b_1/b_2, normally indicates unequal slopes, so the lines intersect at one point and there is one solution. Option C, all three ratios equal, indicates coincident lines and infinitely many solutions. Option D says only that the second and third ratios differ; without knowing the first ratio, this alone does not guarantee no solution. Thus it is not a sufficient general condition. Memory cue: equal coefficient ratios but unequal constant ratio means parallel distinct lines: no solution.सीधा उत्तर विकल्प A है। समीकरणों को a_1x+b_1y+c_1=0 और a_2x+b_2y+c_2=0 के रूप में देखें। कोई हल तब होता है जब दोनों रेखाएँ अलग-अलग समानांतर हों। इसकी शर्त है a_1/a_2=b_1/b_2, लेकिन c_1/c_2 इनसे अलग हो। पहले दो अनुपात बराबर होने से दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है। तीसरा अनुपात अलग होने से वे एक ही रेखा नहीं होतीं; इसलिए वे कभी नहीं मिलतीं। विकल्प A ठीक यही शर्त बताता है। विकल्प B में x और y के गुणांकों के अनुपात अलग हैं; इससे सामान्यतः रेखाएँ अलग ढाल वाली होती हैं और एक बिंदु पर मिलती हैं, इसलिए एक हल मिलता है। विकल्प C में तीनों अनुपात बराबर हैं, जो एक ही रेखा और अनंत हल दर्शाता है। विकल्प D केवल दूसरे और तीसरे अनुपात के अलग होने की बात कहता है; पहले अनुपात की जानकारी न होने से इससे कोई हल नहीं की निश्चित शर्त नहीं बनती। याद रखें: पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएँ समानांतर तथा अलग होती हैं।
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