Choose the correct conclusion for (3x-4y=8) and (6x-8y=16).समीकरण (3x-4y=8) और (6x-8y=16) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely many solutionsअनंत हल
The direct answer is option C: infinitely many solutions. The first equation is 3x-4y=8. Multiplying every term by 2 gives 6x-8y=16, which is exactly the second equation. Thus the two equations do not describe two different lines; they describe the same line. Every point on that line satisfies both equations, so there are infinitely many solutions. Option A, one solution, would require two different lines that intersect once. Option B, no solution, would require distinct parallel lines, usually with equal coefficient ratios but a different constant ratio. Option C is correct because the second equation is simply twice the first. Option D, inconsistent, is wrong because this system is consistent: it has solutions, in fact infinitely many. For example, from 3x-4y=8, choosing suitable values such as x=4,y=1 works, and many other points work too. Memory cue: multiplying an entire equation by a nonzero number does not change its line.सीधा उत्तर विकल्प C: अनंत हल। पहला समीकरण 3x-4y=8 है। इसके प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर 6x-8y=16 मिलता है, जो ठीक दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरण अलग-अलग रेखाएँ नहीं, बल्कि एक ही रेखा बताते हैं। उस रेखा का हर बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है; अतः हल अनंत हैं। विकल्प A, एक हल, के लिए दो अलग रेखाओं का एक बिंदु पर मिलना आवश्यक होता। विकल्प B, कोई हल नहीं, के लिए अलग समानांतर रेखाएँ चाहिए होतीं। विकल्प C सही है क्योंकि दूसरा समीकरण पहले का 2 गुना है। विकल्प D, असंगत, गलत है; यह युग्म असंगत नहीं है, बल्कि इसके अनंत हल हैं। उदाहरण के लिए x=4,y=1 रखने पर 12-4=8 मिलता है, और ऐसे बहुत से अन्य बिंदु भी मिलते हैं। याद रखें: किसी पूरे समीकरण को शून्य से अलग संख्या से गुणा करने पर उसकी रेखा नहीं बदलती।
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