If (a_1/a_2 \ne b_1/b_2), what will be the position of the lines?यदि (a_1/a_2 \ne b_1/b_2), तो रेखाओं की स्थिति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Intersectingकटती हुई
The direct answer is option C: intersecting lines. For a pair \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\), if \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), the coefficients are not proportional in the same way. In slope form, this means the two lines have different slopes. Lines with different slopes meet at exactly one point, so the pair has one unique solution. Option A, parallel, is wrong because parallel lines have equal slopes and usually \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Option B, coincident, is wrong because coincident lines have all three corresponding ratios equal. Option C is correct: unequal coefficient ratios indicate a unique intersection. Option D, inconsistent, describes the equation system's lack of a solution, which occurs for distinct parallel lines, not for intersecting lines. Memory cue: different slopes mean one meeting point and one solution.सीधा उत्तर विकल्प C है: रेखाएँ कटती हुई होंगी। दो रैखिक समीकरणों के लिए यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो x और y के गुणांकों के अनुपात समान नहीं हैं। इसका अर्थ है कि दोनों रेखाओं की ढाल अलग है। अलग ढाल वाली दो सीधी रेखाएँ एक ही बिंदु पर कटती हैं, इसलिए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प A, समानांतर, गलत है क्योंकि समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है और सामान्यतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होता है। विकल्प B, संपाती, गलत है क्योंकि संपाती रेखाओं में तीनों संगत अनुपात समान होते हैं। विकल्प C सही है क्योंकि अलग अनुपात अलग ढाल और एक प्रतिच्छेद दर्शाते हैं। विकल्प D, असंगत, ऐसे समीकरण-युग्म को कहता है जिसका कोई हल नहीं होता; यह अलग-अलग समानांतर रेखाओं की स्थिति है, कटती रेखाओं की नहीं। स्मृति-सूत्र: अलग ढाल, एक कटाव, एक हल।
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