If a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, how many solutions will the pair of linear equations have?यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रैखिक समीकरणों के युग्म के कितने हल होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely many solutionsInfinitely many solutions
For the pair a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, the condition a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ means that all corresponding coefficients have the same ratio. Consequently, one equation is a constant multiple of the other, so both equations represent the same coincident line. Every point on this common line satisfies both equations, and therefore the system has infinitely many solutions. This is the dependent and consistent case. A unique solution occurs when a₁/a₂ is not equal to b₁/b₂, corresponding to intersecting lines. No solution occurs when a₁/a₂ = b₁/b₂ but this common ratio differs from c₁/c₂, corresponding to distinct parallel lines. Hence option C is unambiguous.सामान्य युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होने का अर्थ है कि दोनों समीकरणों के सभी संगत गुणांकों का अनुपात समान है। इसलिए एक समीकरण दूसरे का किसी नियत संख्या से गुणित रूप है और दोनों एक ही संपाती रेखा को दर्शाते हैं। उस समान रेखा के प्रत्येक बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होंगे, इसलिए हलों की संख्या अनंत होगी। यह आश्रित और संगत युग्म है। एक अद्वितीय हल तब मिलता है जब a₁/a₂ और b₁/b₂ बराबर न हों, जबकि कोई हल नहीं तब होता है जब पहले दो अनुपात बराबर हों लेकिन c₁/c₂ उनसे अलग हो। अतः विकल्प C सही है।
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