If 5x + 4y = p and 15x + 12y = 96 give infinitely many solutions, what is p?यदि 5x + 4y = p और 15x + 12y = 96 की रेखाएँ अनंत समाधान देती हैं, तो p का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3232
The governing concept is the condition for infinitely many solutions of a pair of linear equations. Infinitely many solutions occur when both equations represent the same, or coincident, line. The coefficients of x and y in the second equation satisfy 15 = 3 × 5 and 12 = 3 × 4. Therefore, for the constant terms to have the same proportionality, 96 must also equal 3p. Solving 3p = 96 gives p = 96/3 = 32. Hence option C is correct. If p were 30, 31, or 33, the constant-term ratio would not equal the coefficient ratio, so the two equations would represent distinct parallel lines rather than one common line. Thus the algebraic ratio test and the graphical interpretation agree.यह प्रश्न दो रैखिक समीकरणों के अनंत समाधानों की शर्त पर आधारित है। अनंत समाधान तभी मिलते हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाएँ, अर्थात वे संपाती रेखाएँ हों। दूसरे समीकरण में x का गुणांक 15 = 3 × 5 और y का गुणांक 12 = 3 × 4 है। इसलिए स्थिर पद भी पहले समीकरण के स्थिर पद का तीन गुना होना चाहिए। अतः 96 = 3p होगा। अब 3p = 96 से p = 96/3 = 32 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर C है। यदि p का मान 30, 31 या 33 होता, तो स्थिर पदों का अनुपात गुणांकों के अनुपात के बराबर नहीं रहता और रेखाएँ अलग-अलग समांतर होतीं, संपाती नहीं। इस प्रकार अनुपात की बीजीय जाँच और ग्राफीय अर्थ दोनों उत्तर 32 की पुष्टि करते हैं।
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