If a₁ = 7, b₁ = 14, c₁ = 21 and a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3, how will the lines be?यदि a₁ = 7, b₁ = 14, c₁ = 21 और a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3, तो रेखाएँ कैसी होंगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Coincidentसंपाती
The governing concept is the coefficient-ratio test for the pair of linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0. Compute the three ratios: a₁/a₂ = 7/1 = 7, b₁/b₂ = 14/2 = 7, and c₁/c₂ = 21/3 = 7. Since all three ratios are equal, the second equation is obtained by multiplying the first equation by 1/7, or equivalently both equations represent the same geometric line. Hence the lines are coincident and the system has infinitely many solutions. Parallel distinct lines would require the coefficient ratios for a and b to be equal but the constant ratio to be different. Intersecting lines would have unequal ratios for a and b, while perpendicularity is not established by this test. Therefore option B is correct.यहाँ दो रैखिक समीकरणों की रेखाओं की स्थिति जानने के लिए गुणांक-अनुपात परीक्षण लागू होता है। समीकरणों के लिए a₁/a₂ = 7/1 = 7, b₁/b₂ = 14/2 = 7 और c₁/c₂ = 21/3 = 7 प्राप्त होते हैं। तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 1/7 गुना है; दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं। ऐसी रेखाओं को संपाती रेखाएँ कहते हैं और इनके अनंत अनेक समान हल होते हैं। यदि केवल a और b के अनुपात समान होते, लेकिन c का अनुपात अलग होता, तो रेखाएँ समांतर और अलग होतीं। अनुपात अलग-अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटतीं। दिए गए अनुपातों से लंब रेखाओं का निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता। इसलिए सही उत्तर विकल्प B, अर्थात संपाती, है।
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