Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन स्थानों के लिए \(5\times4\times3=60\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प कम होता है। / For three places, there are \(5\times4\times3=60\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
उत्तर \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\) है। पंक्ति में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{6}P_{4}=6\times5\times4\times3=360\). Order matters in a row.
(M) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। समान अक्षर होने पर कुल arrangements घट जाती हैं। / (M) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Repeated letters reduce total arrangements.
\({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) तरीके होंगे। अक्षरों का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / There will be \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) ways. Changing the order of letters changes the arrangement.
यह \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\) है। (4) स्थानों के लिए (4) घटते गुणनखंड लें। / This is \({}^{8}P_{4}=8\times7\times6\times5=1680\). Take (4) decreasing factors for (4) positions.
(DELHI) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों की संख्या ही factorial का आधार होती है। / The word (DELHI) has (5) distinct letters, so (5!=120). The number of distinct letters is the base of the factorial.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{9}P_{1}=9\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{9}P_{1}=9\). For one position, count the available objects directly.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (4) बैग (4!=24) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items की व्यवस्था करें। / The first position is fixed and the remaining (4) bags can be arranged in (4!=24) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3\times3=9\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प कम नहीं होते। / There are (3) choices for each place, so \(3\times3=9\). With repetition, choices do not decrease.
तीन पद अलग हैं इसलिए \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\)। अलग पदों में order महत्त्वपूर्ण होता है। / The three posts are distinct, so \({}^{10}P_{3}=10\times9\times8=720\). Order matters for different posts.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate fixed positions first.
तीनों स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। स्थानों के नाम अलग हों तो क्रमचय लें। / The three positions are distinct, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Use permutation when positions have different names.
(4) अलग फूल (4) अलग स्थानों पर (4!=24) तरीकों से रखे जा सकते हैं। एक-एक वस्तु रखने में व्यवस्था गिनी जाती है। / (4) distinct flowers can be placed in (4) distinct positions in (4!=24) ways. Placing one each counts arrangements.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता, इसलिए \(3\times3=9\) संख्याएँ बनेंगी। संख्या बनाते समय पहले स्थान की शर्त देखें। / Zero cannot be in the tens place, so \(3\times3=9\) numbers are possible. Check the first-place condition in number formation.
जब (r=n) हो तो \({}^{n}P_{n}=n!\), इसलिए \({}^{6}P_{6}=720\)। पूरा चयन होने पर factorial लें। / When (r=n), \({}^{n}P_{n}=n!\), so \({}^{6}P_{6}=720\). Use factorial when all are selected.
कुर्सियाँ अलग हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\)। सीटों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / The chairs are distinct, so \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing seats changes the arrangement.
(P) दो बार है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of repeated letters.
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। अलग स्थानों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so (30). Order matters in distinct positions.
दहाई के लिए (4) और इकाई के लिए (3) विकल्प हैं इसलिए \(4\times3=12\)। स्थान बदलने से संख्या बदलती है। / There are (4) choices for tens and (3) for units, so \(4\times3=12\). Changing places changes the number.
(LAMP) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (LAMP) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\)। रैंकिंग में क्रमचय का प्रयोग करें। / The positions are ordered, so \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). Use permutation in ranking questions.
(7) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (7!=5040) होती है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो factorial लगाएं। / The arrangement of (7) distinct objects is (7!=5040). Use factorial when all objects are distinct.
पहले स्थान के लिए (4) और दूसरे के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3=12\)। पासवर्ड में स्थान बदलने से arrangement बदलती है। / There are (4) choices for the first place and (3) for the second, so \(4\times3=12\). In passwords, changing positions changes the arrangement.
\({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) होता है। क्रम वाली व्यवस्था में permutation लगाएं। / \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). Use permutation for ordered arrangements.
उत्तर \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\) है। चुनी गई पुस्तकों का क्रम बदलने से तरीका बदलता है। / The answer is \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Changing the order of selected books changes the way.
कुल अक्षर (4) हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!}=12\)। repeated letters में denominator लगाएं। / There are (4) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{4!}{2!}=12\). Use a denominator for repeated letters.
(5) अक्षरों से (2) ordered positions के लिए \({}^{5}P_{2}=20\)। ordered pairs में ((P,Q)) और ((Q,P)) अलग होते हैं। / For (2) ordered positions from (5) letters, \({}^{5}P_{2}=20\). In ordered pairs, ((P,Q)) and ((Q,P)) are different.
बाएँ से दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए (4!=24)। क्रम बदलते ही arrangement बदल जाती है। / Left-to-right order matters, so (4!=24). Changing the order changes the arrangement.
