Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(TRAIN) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (TRAIN) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\)। अलग पदों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The two posts are distinct, so \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\). Order matters for different posts.
(8) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (8!=40320) होती है। सभी अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (8) distinct objects is (8!=40320). Use factorial for all distinct objects.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों को अलग-अलग मानकर गिनती न करें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not count identical letters as different.
\({}^{9}P_{4}=9\times8\times7\times6=3024\) है। क्रम वाले चयन में \({}^{n}P_{r}\) लगाएं। / \({}^{9}P_{4}=9\times8\times7\times6=3024\). Use \({}^{n}P_{r}\) for ordered selection.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प हैं और दहाई पर (4) विकल्प, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
बाएँ से दाएँ (6) अलग पोस्टरों की व्यवस्था (6!=720) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (6) distinct posters is (6!=720). Use factorial in linear arrangement.
\({}^{10}P_{0}=1\) और \({}^{10}P_{1}=10\), इसलिए योग (11) है। आसान योग में पहले values अलग निकालें। / \({}^{10}P_{0}=1\) and \({}^{10}P_{1}=10\), so the sum is (11). In simple sums, find the values separately first.
(N) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated groups हों तो दोनों से भाग दें। / (N) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated groups.
पुरस्कार अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\)। अलग पुरस्कारों में order गिना जाता है। / The prizes are distinct, so \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Order is counted for distinct prizes.
चार स्थानों के लिए \(5\times4\times3\times2=120\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते जाते हैं। / For four places, there are \(5\times4\times3\times2=120\) ways. Without repetition, choices keep decreasing.
(4) अलग विषय (4) अलग पीरियड में (4!=24) तरीकों से लगते हैं। timetable में order महत्त्वपूर्ण होता है। / (4) different subjects can be arranged in (4) different periods in (4!=24) ways. Order matters in a timetable.
(BIHAR) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (BIHAR) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
पहले डिब्बे के लिए (7) और दूसरे के लिए (6) विकल्प हैं इसलिए (42)। अलग डिब्बों में क्रमचय गिना जाता है। / There are (7) choices for the first box and (6) for the second, so (42). Permutation is counted for distinct boxes.
\({}^{4}P_{0}=1\) और \({}^{4}P_{1}=4\), इसलिए योग (5) है। standard values याद रखें। / \({}^{4}P_{0}=1\) and \({}^{4}P_{1}=4\), so the sum is (5). Remember standard values.
सीधी डोरी पर (5) अलग मोतियों की व्यवस्था (5!=120) है। इसे circular arrangement न मानें। / On a straight string, the arrangement of (5) distinct beads is (5!=120). Do not treat it as a circular arrangement.
तीनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो हर स्थान पर समान विकल्प रहते हैं। / There are (3) choices for each of the three places, so \(3^3=27\). With repetition allowed, choices remain the same at every place.
पहला और दूसरा वक्ता क्रम वाले पद हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=132\)। बोलने के क्रम में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{12}P_{2}=132\). Speaking order uses permutation.
(E) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements होंगे। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (E) occurs twice, so \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements are possible. Do not count repeated letters as distinct.
\({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षरों का स्थान बदलने से कोड बदल जाता है। / \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) codes are possible. In a code, changing positions changes the code.
दायाँ और बायाँ स्थान अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। स्थानों की पहचान अलग हो तो क्रम गिना जाता है। / Right and left positions are distinct, so \({}^{6}P_{2}=30\). When positions are identified, order is counted.
\({}^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\) है। (r=4) हो तो (4) घटते गुणनखंड लें। / \({}^{5}P_{4}=5\times4\times3\times2=120\). When (r=4), take (4) decreasing factors.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\)। अलग पदों के लिए क्रमचय लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\). Use permutation for distinct posts.
(3) अलग झंडों की क्रमबद्ध व्यवस्था (3!=6) है। ऊपर-नीचे का क्रम बदलने से arrangement बदलती है। / The ordered arrangement of (3) distinct flags is (3!=6). Changing top-bottom order changes the arrangement.
सैकड़ा स्थान पर (3) विकल्प हैं, फिर (3) और (2) विकल्प हैं, कुल (18)। पहले स्थान पर (0) न रखें। / There are (3) choices for the hundreds place, then (3) and (2) choices, total (18). Do not put (0) in the first place.
पहले शहर के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं इसलिए (20)। यात्रा क्रम बदलने से योजना बदलती है। / There are (5) choices for the first city and (4) for the second, so (20). Changing trip order changes the plan.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{6!}{2!}=360\)। repeated letter के लिए denominator लगाएं। / There are (6) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{6!}{2!}=360\). Use a denominator for a repeated letter.
(4) अलग लेबल (4) अलग डिब्बों पर (4!=24) तरीकों से लगेंगे। matching arrangements में factorial काम आता है। / (4) different labels can be pasted on (4) different boxes in (4!=24) ways. Factorial is useful in matching arrangements.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है इसलिए \({}^{7}P_{0}=1\)। शून्य वस्तु चुनने का एक ही तरीका माना जाता है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{7}P_{0}=1\). Choosing zero objects is counted in one way.
