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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में प्रयुक्त सही कारण-परिणाम संबंध है?

Which option shows the correct cause-effect relation used in the proof of \(\sqrt{3}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); अतः \(p=3k\), जहाँ \(k\) एक पूर्णांक है।If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); hence \(p=3k\), where \(k\) is an integer.

Explanation

Simple Explanation

सही संबंध विकल्प A में है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। अतः \(p=3k\) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\) पूर्णांक है। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में इससे आगे \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के अनुमान का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए याद रखें—यदि \(r\mid a^2\), तो \(r\mid a\)। / Option A gives the correct relation. Since 3 is prime, if \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) must also be divisible by 3. Therefore, we can write \(p=3k\), where \(k\) is an integer. In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), this ultimately shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting the assumption that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: For a prime \(r\), remember that \(r\mid a^2\) implies \(r\mid a\).

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Correct Answer: A. यदि \(3\mid p^2\), तो \(3\mid p\); अतः \(p=3k\), जहाँ \(k\) एक पूर्णांक है। / If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\); hence \(p=3k\), where \(k\) is an integer.. Explanation: सही संबंध विकल्प A में है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। अतः \(p=3k\) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\) पूर्णांक है। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में इससे आगे \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के अनुमान का विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए याद रखें—यदि \(r\mid a^2\), तो \(r\mid a\)। / Option A gives the correct relation. Since 3 is prime, if \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) must also be divisible by 3. Therefore, we can write \(p=3k\), where \(k\) is an integer. In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), this ultimately shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting the assumption that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: For a prime \(r\), remember that \(r\mid a^2\) implies \(r\mid a\).