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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानें, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो विरोधाभास उत्पन्न करने वाला कौन-सा निष्कर्ष प्राप्त होता है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, where \(p\) and \(q\) are coprime integers, which conclusion produces the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है; इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग के 3 से विभाज्य होने पर मूल संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानें, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो विरोधाभास उत्पन्न करने वाला कौन-सा निष्कर्ष प्राप्त होता है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed, where \(p\) and \(q\) are coprime integers, which conclusion produces the contradiction?

Correct Answer: C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है; इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग के 3 से विभाज्य होने पर मूल संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.