विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से तुरंत क्या निष्कर्ष निकलता है?
While proving \(\sqrt{3}\) irrational by contradiction, suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. What follows immediately from \(p^2=3q^2\)?
Correct answer and explanation
A. 3, \(p\) को विभाजित करता है3 divides \(p\)
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\), 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) के विभाज्य होने पर \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। बाद में \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वाले नियम को याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies that \(p\) is divisible by 3. Only after writing \(p=3k\) can we show that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property for squares.
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