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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 18

\(\sqrt{2}\) का प्रमाण दशमलव विस्तार के बिना क्यों मान्य है?

Why is the proof of \(\sqrt{2}\) valid without decimal expansion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य पूर्णांकों से प्राप्त विरोधाभास पर आधारित हैBecause the proof is based on parity and a contradiction involving coprime integers

Explanation

Simple Explanation

\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मानते हैं कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है, जिससे \(p\) सम होता है। फिर \(q\) भी सम सिद्ध होता है। यह इस शर्त के विरुद्ध है कि \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। इसलिए दशमलव विस्तार की आवश्यकता नहीं होती। परीक्षा टिप: विरोधाभास वाले प्रमाण में ‘सहभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / To prove that \(\sqrt{2}\) is irrational, assume \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Squaring gives \(p^2=2q^2\), so \(p\) is even. This then shows that \(q\) is also even, contradicting the fact that \(p\) and \(q\) are coprime. Hence, no decimal expansion is needed. Exam tip: In a contradiction proof, state the coprime condition clearly.

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\(\sqrt{2}\) का प्रमाण दशमलव विस्तार के बिना क्यों मान्य है? / Why is the proof of \(\sqrt{2}\) valid without decimal expansion?

Correct Answer: C. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य पूर्णांकों से प्राप्त विरोधाभास पर आधारित है / Because the proof is based on parity and a contradiction involving coprime integers. Explanation: \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में मानते हैं कि \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है, जिससे \(p\) सम होता है। फिर \(q\) भी सम सिद्ध होता है। यह इस शर्त के विरुद्ध है कि \(p\) और \(q\) सहभाज्य हैं। इसलिए दशमलव विस्तार की आवश्यकता नहीं होती। परीक्षा टिप: विरोधाभास वाले प्रमाण में ‘सहभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / To prove that \(\sqrt{2}\) is irrational, assume \(\sqrt{2}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Squaring gives \(p^2=2q^2\), so \(p\) is even. This then shows that \(q\) is also even, contradicting the fact that \(p\) and \(q\) are coprime. Hence, no decimal expansion is needed. Exam tip: In a contradiction proof, state the coprime condition clearly.