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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 17

एक विद्यार्थी कहता है, “\(\sqrt{2}\) का वर्ग \(2\) है और \(2\) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{2}\) भी परिमेय है।” उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?

A student says, “The square of \(\sqrt{2}\) is \(2\), and \(2\) is rational; therefore, \(\sqrt{2}\) is also rational.” What is the main error in this reasoning?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. परिमेय संख्या का वर्ग परिमेय होता है, पर किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय होना आवश्यक नहीं हैThe square of a rational number is rational, but a number need not be rational merely because its square is rational

Explanation

Simple Explanation

\(\sqrt{2}\) का वर्ग \(2\) परिमेय है, पर इसका प्रतिलोम निष्कर्ष सही नहीं है। यदि \(\sqrt{2}=p/q\) सरल रूप में मानें, तो \(p^2=2q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों सम मिलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा में प्रतिलोम तर्क से बचें। / Although \((\sqrt{2})^2=2\) is rational, the converse statement is invalid. Assuming \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms gives \(p^2=2q^2\), making both \(p\) and \(q\) even—a contradiction. Exam tip: check whether a converse is justified.

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Correct Answer: B. परिमेय संख्या का वर्ग परिमेय होता है, पर किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने से वह संख्या परिमेय होना आवश्यक नहीं है / The square of a rational number is rational, but a number need not be rational merely because its square is rational. Explanation: \(\sqrt{2}\) का वर्ग \(2\) परिमेय है, पर इसका प्रतिलोम निष्कर्ष सही नहीं है। यदि \(\sqrt{2}=p/q\) सरल रूप में मानें, तो \(p^2=2q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों सम मिलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा में प्रतिलोम तर्क से बचें। / Although \((\sqrt{2})^2=2\) is rational, the converse statement is invalid. Assuming \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms gives \(p^2=2q^2\), making both \(p\) and \(q\) even—a contradiction. Exam tip: check whether a converse is justified.