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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 17

यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास किस कारण उत्पन्न होता है?

If \(\sqrt{2}\) is assumed to be rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, why does a contradiction arise in the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. It shows that both \(p\) and \(q\) are even, so they cannot be coprime.

Explanation

Simple Explanation

\(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम है, अतः \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 का गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास सह-अभाज्यता से मिलता है। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2.

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Correct Answer: A. It shows that both \(p\) and \(q\) are even, so they cannot be coprime.. Explanation: \(2q^2=p^2\) से \(p^2\) सम है, अतः \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। दोनों में 2 का गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास सह-अभाज्यता से मिलता है। / From \(2q^2=p^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: identify the common factor 2.