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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 17

एक विद्यार्थी ने दावा किया कि यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो \(p^2=3q^2\) से केवल \(p\) 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। उसके तर्क में सही सुधार क्या है?

A student claims that if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, then \(p^2=3q^2\) proves only that \(p\) is divisible by 3. What is the correct improvement to the argument?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।

Explanation

Simple Explanation

\(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), यानी \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड दिखाइए। / Since \(p^2\) is divisible by 3, \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both integers.

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Correct Answer: A. \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है।. Explanation: \(p^2\) 3 से विभाज्य है, अतः \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), यानी \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों संख्याओं का समान गुणनखंड दिखाइए। / Since \(p^2\) is divisible by 3, \(p=3k\). Substitution gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: establish divisibility of both integers.